數據結構與算法(十二) 紅黑樹

紅黑樹

在閱讀紅黑樹以前要弄明白B樹，作到想到紅黑樹，心中有B樹。沒有弄明白的能夠看我上一個文章

數據結構與算法(十一) 紅黑樹

紅黑樹也是一種自平衡二叉搜索樹

之前也叫作平衡二叉B樹

紅黑樹必須知足一下5個性質

• 節點是有顏色的Red/Black
• 根節點必須是Black
• 葉子節點必須是Black
  • 紅黑樹的葉子節點會自動將度爲0 或者度爲1的節點的度自動補充爲2，補充的節點稱之爲外部節點
    • 外部節點是空想出來的，代碼中不會實現
• red節點的子節點都是black色
• 從任意一節點到葉子節點的全部路徑包含的black節點數目相同
  • 這裏說的葉子節點包含假想出來的葉子節點

1、判斷下面是否爲紅黑樹

• 不是

  知足

  • 節點是有顏色的Red/Black
  • 根節點必須是Black
  • 葉子節點必須是Black
    • 紅黑樹的葉子節點會自動將度爲0 或者度爲1的節點的度自動補充爲2，補充的節點稱之爲外部節點
      • 外部節點是空想出來的，代碼中不會實現
  • red節點的子節點都是black色

• 不知足

  • 從任意一節點到葉子節點的全部路徑包含的black節點數目相同

2、紅黑樹的等價變換

• 紅黑樹和4階B樹具備等價性

  • Black節點與他的Red子節點融合在一塊兒，就造成一個B樹節點

• 紅黑樹的Black節點個數與4階B樹的節點總數相等

3、紅黑樹的操做

一、添加

• 想像成4階B樹
  • 添加操做都在葉子節點中。
  • 4階B樹全部節點的元素個數爲 1 <= x <= 3。
• 建議新添加的節點默認爲Red （這樣能更快的知足紅黑樹的性質）。
• 根節點默認爲Black。

全部的添加狀況以下圖所示

添加狀況處理：

a、當parent爲black的狀況，直接添加，無需特殊處理。（4種狀況）

b、當parent爲Red的狀況。有如下幾種狀況（8種）

一、當uncle節點爲Black時

• RR/LL狀況

  • 先對parent染成黑色，在對grand染紅（染色的意義是在與讓後面旋轉後parent的節點爲黑色，parent的子節點爲黑色）
  • 當RR/LL狀況的時候，須要對其進行左旋轉/右旋轉。（grand變成parent的子節點）。

• LR\RL狀況

  • 將本身染成Black，grand染成Red 。（染色的意義是進行後面的雙旋轉操做後本身成爲parent節點，規定partent的節點爲黑色，parent的子節點（原來的parent和grand）爲Red。）。
  • 進行雙旋轉
    • LR:parent左旋轉，grand右旋轉。
    • RL:parent右旋轉，grand左旋轉。

二、當uncle節點爲Red時

當uncle爲Red的時候，紅黑樹對比4階B樹會發生上溢操做。

• 將parent、uncle染成Black。（爲了單獨爲一個節點作準備）。
• 將grand向上合併
• 將grand染成Red。當作是新節點進行處理。（遞歸，遞歸的代碼只是染色，而旋轉操做只作了1遍）
• 狀況以下圖所示:

二、刪除

在B樹中真正刪除的元素都在葉子節點（若不是葉子節點，其前驅或者後繼都爲葉子節點，因此在替換後刪除的仍然爲葉子節點。 若是刪除的是20，前驅15仍然是葉子節點）。

添加狀況處理：

a、當刪除的是Red節點的時候

• 能夠直接刪除 無需其餘操做

b、刪除Black節點的時候

• 當擁有2個Red子節點的black節點

  • 不可能直接刪除、由於平衡二叉樹要找到2個度節點的前驅或者後繼、替換後刪除的是前驅或者後繼。（因此不用考慮這個狀況）。

• 當擁有1個Red子節點的black節點

  • 判斷條件：用代替的子節點是Red
  • 將替代的的子節點染成Black
  • 狀況以下圖所示(刪除60）

• Black葉子節點

  • 若是Black葉子節點的兄弟節點爲Black

    • 兄弟節點有紅色節點
      • 葉子節點被刪除後、可能致使B樹下溢（刪除33節點）
      • 進行旋轉操做(LL/RR/RL/LR)，旋轉以後中心節點繼承parent的顏色。 （下圖10繼承20顏色）
      • 旋轉以後左右節點染色爲Black (10的字節點)。

      • 

    • 兄弟節點沒有紅色節點
      • 將兄弟節點染Red、parent節點染Black 既可。
        • 若是parent爲Black, 會致使下溢，只須要把parent當作被刪除的節點處理既可（遞歸）實驗可得 遞歸次數小於三次。(下圖中若是40的超級節點上只有40 沒有20和70，那會發生下溢，只須要將40當作被刪除的節點既可)。

        • 

  • 若是Black葉子節點的兄弟節點爲Red

    • 原理： 此時兄弟節點是20 。 咱們要將30變爲45的兄弟節點。而後在進行兄弟節點爲black操做

    • 將兄弟節點染成Black ,parent染成Red,再進行旋轉。

    • 回到了兄弟節點爲black的狀況。

    • 

4、紅黑樹的平衡

紅黑樹是一種弱平衡。黑高度平衡，因爲是黑高度平衡 和紅黑樹性質。因此最大路徑小於最短路徑的2倍

紅黑樹的最大高度是，依然是O(logn)級別。

5、時間複雜度

搜索：O(logn)

添加：O(logn)，O(1)次旋轉操做

刪除：O(logn)，O(1)次旋轉操做

6、AVL樹VS紅黑樹

• AVL

  • 平衡標準比較嚴格：每一個左右子樹高度差1。

  • 最大高度是(100W個節點，AVL最大高度28)。

  • 搜索、添加、刪除都是O(logn)複雜度，其中添加須要O(1)次旋轉調整、刪除最多須要O(logn)次調整。

• 紅黑樹

  • 平衡標準比較鬆：沒有一條路徑大於其餘路徑的二倍。

  • 最大高度是(100W個節點，紅黑樹最大高度40)。

  • 搜索、添加、刪除都是O(logn)複雜度，其中添加刪除都是O(1)次旋轉調整。

• 搜索的次數遠大於插入和刪除、選擇AVL樹；

• 搜索、插入、刪除的操做差很少，選擇紅黑樹；

• 相對於AVL，紅黑樹犧牲了部分平衡性能換取插入/刪除時的少許旋轉操做。總體性能優於AVL樹

• 紅黑樹的平均統計性能優於AVL樹，實際應用更多選擇紅黑樹。

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