泊松分佈與美國槍擊案

去年12月，美國康涅狄格州發生校園槍擊案，形成28人死亡。

資料顯示，1982年至2012年，美國共發生62起（大規模）槍擊案。其中，2012年發生了7起，是次數最多的一年。

去年有這麼多槍擊案，這是巧合，仍是代表美國治安惡化了？

前幾天，我看到一篇頗有趣的文章，使用"泊松分佈"（Poisson distribution），判斷同一年發生7起槍擊案是否巧合。

讓咱們先經過一個例子，瞭解什麼是"泊松分佈"。

已知某家小雜貨店，平均每週售出2個水果罐頭。請問該店水果罐頭的最佳庫存量是多少？ 假定不存在季節因素，能夠近似認爲，這個問題知足如下三個條件： （1）顧客購買水果罐頭是小几率事件。 （2）購買水果罐頭的顧客是獨立的，不會互相影響。 （3）顧客購買水果罐頭的機率是穩定的。 在統計學上，只要某類事件知足上面三個條件，它就服從"泊松分佈"。 泊松分佈的公式以下：

各個參數的含義： 　　P：每週銷售k個罐頭的機率。 　　X：水果罐頭的銷售變量。 　　k：X的取值（0，1，2，3...）。 　　λ：每週水果罐頭的平均銷售量，是一個常數，本題爲2。

根據公式，計算獲得每週銷量的分佈：

從上表可見，若是存貨4個罐頭，95%的機率不會缺貨（平均每19周發生一次）；若是存貨5個罐頭，98%的機率不會缺貨（平均59周發生一次）。

如今，咱們再回過頭，來看美國槍擊案。

假定它們知足"泊松分佈"的三個條件：

　　（1）槍擊案是小几率事件。

　　（2）槍擊案是獨立的，不會互相影響。

　　（3）槍擊案的發生機率是穩定的。

顯然，第三個條件是關鍵。若是成立，就說明美國的治安沒有惡化；若是不成立，就說明槍擊案的發生機率不穩定，正在提升，美國治安惡化。

根據資料，1982--2012年槍擊案的分佈狀況以下：

計算獲得，平均每一年發生2起槍擊案，因此 λ = 2 。

上圖中，藍色的條形柱是實際的觀察值，紅色的虛線是理論的預期值。能夠看到，觀察值與指望值仍是至關接近的。

咱們用"卡方檢驗"（chi-square test），檢驗觀察值與指望值之間是否存在顯著差別。

　　卡方統計量 = Σ [ ( 觀察值 - 指望值 ) ^ 2 / 指望值 ]

計算獲得，卡方統計量等於9.82。查表後獲得，置信水平0.90、自由度7的卡方分佈臨界值爲12.017。所以，卡方統計量小於臨界值，這代表槍擊案的觀察值與指望值之間沒有顯著差別。因此，能夠接受"發生槍擊案的機率是穩定的"假設，也就是說，從統計學上沒法獲得美國治安正在惡化的結論。

可是，也必須看到，卡方統計量9.82離臨界值很接近，p-value只有0.18。也就是說，對於"美國治安沒有惡化"的結論，咱們只有82%的把握，還有18%的多是咱們錯了，美國治安實際上正在惡化。所以，這就須要看從此兩年中，是否還有大量槍擊案發生。若是確實發生了，泊松分佈就不成立了。