MySQL數據庫索引選擇使用B+樹

在分析爲何MySQL數據庫索引選擇使用B+樹以前，我相信不少人對數據結構中的樹仍是有些許模糊的，所以我將由淺入深一步步探討樹的演進過程，在一步步引出B樹以及爲何MySQL數據庫索引選擇使用B+樹！ 

1、二叉查找樹

（1）二叉樹簡介： 二叉查找樹也稱爲有序二叉查找樹，知足二叉查找樹的通常性質，是指一棵空樹具備以下性質：

 一、任意節點左子樹不爲空,則左子樹的值均小於根節點的值；

 二、任意節點右子樹不爲空,則右子樹的值均大於於根節點的值；

 三、任意節點的左右子樹也分別是二叉查找樹； 

 四、沒有鍵值相等的節點； 

上圖爲一個普通的二叉查找樹，按照中序遍歷的方式能夠從小到大的順序排序輸出：二、三、五、六、七、8。 對上述二叉樹進行查找，如查鍵值爲5的記錄，先找到根，其鍵值是6，6大於5，所以查找6的左子樹，找到3；而5大於3，再找其右子樹；一共找了3次。若是按二、三、五、六、七、8的順序來找一樣需求3次。用一樣的方法在查找鍵值爲8的這個記錄，此次用了3次查找，而順序查找須要6次。計算平均查找次數得：順序查找的平均查找次數爲（1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.3次，二叉查找樹的平均查找次數爲（3+3+3+2+2+1）/6=2.3

（2）侷限性及應用

一個二叉查找樹是由n個節點隨機構成，因此，對於某些狀況，二叉查找樹會退化成一個有n個節點的線性鏈表。以下圖：

如上圖，若是咱們的根節點選擇是最小或者最大的數，那麼二叉查找樹就徹底退化成了線性結構。上圖中的平均查找次數爲（1+2+3+4+5+5）/6=3.16次，和順序查找差很少。顯然這個二叉樹的查詢效率就很低，所以若想最大性能的構造一個二叉查找樹，須要這個二叉樹是平衡的、從而引出了一個新的定義-平衡二叉樹AVL 

2、AVL樹

（1）簡介

AVL樹是帶有平衡條件的二叉查找樹，通常是用平衡因子差值判斷是否平衡並經過旋轉來實現平衡，左右子樹樹高不超過1，和紅黑樹相比，它是嚴格的平衡二叉樹，平衡條件必須知足（全部節點的左右子樹高度差不超過1）。無論咱們是執行插入仍是刪除操做，只要不知足上面的條件，就要經過旋轉來保持平衡，而旋轉是很是耗時的，由此咱們能夠知道AVL樹適合用於插入刪除次數比較少，查找多的狀況。 

從上面是一個普通的平衡二叉樹，這張圖咱們能夠看出，任意節點的左右子樹的平衡因子差值都不會大於1。

（2）侷限性

因爲維護這種高度平衡所付出的代價比從中得到的效率收益還大，故而實際的應用很少，更多的地方是用追求局部而不是很是嚴格總體平衡的紅黑樹。固然，若是應用場景中對插入刪除不頻繁，只是對查找要求較高，那麼AVL仍是較優於紅黑樹。

3、紅黑樹

（1）簡介

一種二叉查找樹，但在每一個節點增長一個存儲位表示節點的顏色，能夠是red或black。經過對任何一條從根到葉子的路徑上各個節點着色的方式的限制，紅黑樹確保沒有一條路徑會比其它路徑長出兩倍。它是一種弱平衡二叉樹(因爲是弱平衡，能夠推出，相同的節點狀況下，AVL樹的高度低於紅黑樹)，相對於要求嚴格的AVL樹來講，它的旋轉次數變少，因此對於搜索、插入、刪除操做多的狀況下，咱們就用紅黑樹

（2）性質

一、每一個節點非紅即黑；
二、根節點是黑的；
三、每一個葉節點(葉節點即樹尾端NULL指針或NULL節點)都是黑的；
四、若是一個節點是紅的,那麼它的兩兒子都是黑的；
五、對於任意節點而言，其到葉子點樹NULL指針的每條路徑都包含相同數目的黑節點；
六、每條路徑都包含相同的黑節點；

（3）應用

一、普遍用於C++的STL中，Map和Set都是用紅黑樹實現的；

 二、著名的Linux進程調度Completely Fair Scheduler，用紅黑樹管理進程控制塊，進程的虛擬內存區域都存儲在一顆紅黑樹上，每一個虛擬地址區域都對應紅黑樹的一個節點，左指針指向相鄰的地址虛擬存儲區域，右指針指向相鄰的高地址虛擬地址空間； 

三、IO多路複用epoll的實現採用紅黑樹組織管理sockfd，以支持快速的增刪改查；

 四、Nginx中用紅黑樹管理timer，由於紅黑樹是有序的，能夠很快的獲得距離當前最小的定時器；

 五、Java中TreeMap的實現；

4、B/B+樹

說了上述的三種樹：二叉查找樹、AVL和紅黑樹，彷佛咱們尚未摸到MySQL爲何要使用B+樹做爲索引的實現，不要急，接下來咱們就先探討一下什麼是B樹

（1）簡介

 咱們在MySQL中的數據通常是放在磁盤中的，讀取數據的時候確定會有訪問磁盤的操做，磁當大規模數據存儲到磁盤中的時候，顯然是一個很是花費時間的過程，能夠經過B樹進行優化，提升磁盤讀取時定位的效率。 爲何B類樹能夠進行優化呢？咱們能夠根據B類樹的特色，構造一個多階的B類樹，而後在儘可能多的在結點上存儲相關的信息，保證層數儘可能的少，以便後面咱們能夠更快的找到信息，磁盤的I/O操做也少一些，並且B類樹是平衡樹，每一個結點到葉子結點的高度都是相同，這也保證了每一個查詢是穩定的。與紅黑樹相比，在相同的的節點的狀況下，一顆B/B+樹的高度遠遠小於紅黑樹的高度(在下面B/B+樹的性能分析中會提到)。B/B+樹上操做的時間一般由存取磁盤的時間和CPU計算時間這兩部分構成，而CPU的速度很是快，因此B樹的操做效率取決於訪問磁盤的次數，關鍵字總數相同的狀況下B樹的高度越小，磁盤I/O所花的時間越少。 注意B-樹就是B樹

（2）B樹的性質

 一、定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子，且M>2； 

二、根結點的兒子數爲[2, M]； 

三、除根結點之外的非葉子結點的兒子數爲[M/2, M]； 

四、每一個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字） 

五、非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1； 

六、非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]； 

七、非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；

 八、全部葉子結點位於同一層； 

這裏只是一個簡單的B樹，在實際中B樹節點中關鍵字不少的，上面的圖中好比35節點，35表明一個key(索引)，而小黑塊表明的是這個key所指向的內容在內存中實際的存儲位置，是一個指針。

5、B+樹

（1）簡介

B+樹是應文件系統所需而產生的一種B樹的變形樹（文件的目錄一級一級索引，只有最底層的葉子節點（文件）保存數據）非葉子節點只保存索引，不保存實際的數據，數據都保存在葉子節點中，這不就是文件系統文件的查找嗎? 咱們就舉個文件查找的例子：有3個文件夾a、b、c， a包含b，b包含c，一個文件yang.c，a、b、c就是索引（存儲在非葉子節點）， a、b、c只是要找到的yang.c的key，而實際的數據yang.c存儲在葉子節點上。 全部的非葉子節點均可以當作索引部分

（2）B+樹的性質(下面提到的都是和B樹不相同的性質)

一、非葉子節點的子樹指針與關鍵字個數相同

 二、非葉子節點的子樹指針p[i],指向關鍵字值屬於[k[i],k[i+1]]的子樹.(B樹是開區間,也就是說B樹不容許關鍵字重複,B+樹容許重複)； 

三、爲全部葉子節點增長一個鏈指針；

 四、全部關鍵字都在葉子節點出現(稠密索引). (且鏈表中的關鍵字剛好是有序的)；

 五、非葉子節點至關因而葉子節點的索引(稀疏索引),葉子節點至關因而存儲(關鍵字)數據的數據層； 

六、更適合於文件系統

非葉子節點（好比5，28，65）只是一個key（索引），實際的數據存在葉子節點上（5，8，9）纔是真正的數據或指向真實數據的指針。

（3）應用

一、B和B+樹主要用在文件系統以及數據庫作索引，好比MySQL；

6、B/B+樹性能分析

n個節點的平衡二叉樹的高度爲H(即logn)，而n個節點的B/B+樹的高度爲logt((n+1)/2)+1； 　 若要做爲內存中的查找表，B樹卻不必定比平衡二叉樹好，尤爲當m較大時更是如此。由於查找操做CPU的時間在B-樹上是O(mlogtn)=O(lgn(m/lgt))，而m/lgt>1；因此m較大時O(mlogtn)比平衡二叉樹的操做時間大得多。所以在內存中使用B樹必須取較小的m。（一般取最小值m=3，此時B-樹中每一個內部結點能夠有2或3個孩子，這種3階的B-樹稱爲2-3樹）。 

7、爲何說B+樹比B樹更適合數據庫索引？

一、 B+樹的磁盤讀寫代價更低：B+樹的內部節點並無指向關鍵字具體信息的指針，所以其內部節點相對B樹更小，若是把全部同一內部節點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多，一次性讀入內存的須要查找的關鍵字也就越多，相對IO讀寫次數就下降了。  

二、B+樹的查詢效率更加穩定：因爲非終結點並非最終指向文件內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。因此任何關鍵字的查找必須走一條從根結點到葉子結點的路。全部關鍵字查詢的路徑長度相同，致使每個數據的查詢效率至關。

 三、因爲B+樹的數據都存儲在葉子結點中，分支結點均爲索引，方便掃庫，只須要掃一遍葉子結點便可，可是B樹由於其分支結點一樣存儲着數據，咱們要找到具體的數據，須要進行一次中序遍歷按序來掃，因此B+樹更加適合在區間查詢的狀況，因此一般B+樹用於數據庫索引。

 PS：我在知乎上看到有人是這樣說的,我感受說的也挺有道理的：

 他們認爲數據庫索引採用B+樹的主要緣由是：B樹在提升了IO性能的同時並無解決元素遍歷的我效率低下的問題，正是爲了解決這個問題，B+樹應用而生。B+樹只須要去遍歷葉子節點就能夠實現整棵樹的遍歷。並且在數據庫中基於範圍的查詢是很是頻繁的，而B樹不支持這樣的操做或者說效率過低。