動態規劃問題總結【學習中】

DP總覽

問題特色

計數（多少種）

• Li114，多少種路徑
• 多少種方法選出k個數，使得和是sum

最大值

• Li669，硬幣的最少個數
• Li397，最長上升子序列

存在性（可行性、可否）

• Li116，可否跳到最後一塊石頭

解題步驟

1. 肯定狀態

   • 考慮最後一步（最後一個物品，最後一個路徑）
   • 變成解決子問題了（規模更小的問題）
   • 狀態就是 f 對應的 dp

2. 肯定狀態轉移方程

   • ❗ dp[i] 和 f(i) 不徹底同樣 P2O_2e 14，Li515
   • dp[i]的計算順序（從大到小仍是從小到達）有影響 0-1揹包

3. 分析初始條件和邊界狀況

   • 初始條件：開始的幾項，和後面規則不同的值
   • 邊界狀況：數組下標越界時，沒法實現的狀況的dp值（-1，無窮仍是什麼）

4. 肯定計算dp的順序

   • 原則就是計算須要的都是以前計算的結果
   • 通常都是從小到大，揹包問題的空間優化必須反向計算

空間優化

• 使用滾動數組, 根據狀態轉移方程中須要的最舊的數據肯定大小
• 用dp[i % n]代替dp[i]是最方便, 最好理解的解決辦法, 其中n是壓縮後的數組大小
• 通常是逐行掃描, 滾動數組長度是列數的倍數。 若是列多行少時, 能夠考慮逐列掃描讓滾動數組長度是列數的倍數， 進一步優化空間

座標型20%

簡單例題

Li114 不一樣路徑

Li115 不一樣路徑，網格中有障礙

問題特色

• 給定一個序列或者網格

• 狀態dp[i]的含義是以a[i]結尾的子序列的性質

Li397 最長連續單向子序列

Li110 路徑數字和的最小值

Li553 炸彈襲擊

序列型20%

簡單例題

Li515 刷房子

問題特色

• 狀態dp[i]的含義是前i個元素的性質
• 初始化時，dp[0]表示空序列的性質
• ❗ for循環裏i <= n, 常常寫成i < n，致使輸出0

Li556 刷房子, O(n*k)

Li644 數位中1的個數

L198_Li392 打家劫舍

劃分型20%

簡單例題

Li512 編碼解析方法

區間型15%

揹包型10%

載重W的揹包，N件待選物品，物品屬性：重量w，價值v

0-1揹包

列表中的物品只有一個

• 最大價值
  • 要求正好裝滿
  • 不要求正好裝滿
• 可否裝滿

徹底揹包

列表種的物品有任意個

最長序列型5%

博弈型5%

綜合型5%