【數據結構】圖-最短路徑問題

最短路徑問題的抽象
·在網絡中，求兩個不同頂點之間的所有路徑中，邊的權值之和最小的那一條路徑
這條路徑就是兩點之間的最短路徑（shortest path）
第一個頂點爲源點（source）
最後一個頂點爲終點（destination）

問題分類：
單源最短路徑問題：從某固定源點出發，求其到所有其他頂點的最短路徑。
（有向）無權圖
（有向）有權圖
多源最短路徑問題：求任意兩頂點間的最短路徑

無權圖的單元最短路算法
按照遞增（非遞減）的順序找出到各個頂點的最短路

如圖，求v3到其餘各點的最短路
Step 1 : 直接從v3出發，能直接到達v1和v6，將其記錄，表示v3到這兩個點的路程爲1
Step 2 : 從step1中獲取到的兩點出發，先從v1出發，能直接到達v2和v4，即表示v3到這兩個點的路程爲1+1=2；從v6出發，發現v6並沒有箭頭指向其它點，結束
Step 3 : 同上 從v2出發，v4已經訪問過了，不訪問，可以訪問v5；從v4出發，v5已經訪問過，不訪問，可以訪問v7，那麼v5,v7就是從v3出發的兩點路程爲2+1=3的點
至此，所有點已經訪問完畢。

有沒有覺得和BFS很像

實際上代碼也和BFS差不多，但是有修改：

需要一個更加具體的數組來表示到每個點的最短路徑是多少，還可以順便準備一個數組，表示路徑

S是其本身，因此dist[S] = 0；其餘dist[]的初始值可以設置一個奇妙的值，比方說-1，比方說-9999等。
訪問到一個點之後，它的路徑就是我此時出發點的路徑+1

如果dist的初始值都設爲0，那麼在if判斷那邊就是if(dist[W] == 0)，這樣源點會一直入隊出隊入隊出隊，進入死循環。

最後模擬結果如上，文字描述參考上文，path模擬方法類似不多贅述了。

有權圖的單元最短路算法

圖1，設權重指代通行費，想求v1到v6最省錢路線，可以得出v1-v4-v7-v6 = 6
圖2，同樣的，但v2->v5爲-10，此時想求v5到v4最省錢路線，則會進入v5-v4-v2-v5死循環（一時賺錢一時爽，一直賺錢一直爽），這個-10稱爲負值圈，在算法中一般都需要避免負值圈的出現。

Dijkstra算法
一個用於有權圖最短路徑的算法，直接貼出代碼和模擬：


尋找v1開始到各點的最短路徑：
準備工作：將v1的dist設爲0（自己），並設置標記（已錄入），再把v1相鄰的點錄入（v2,v4）
（疑惑：v2的權重是2，但萬一有一條路徑是1呢？v4的路徑是1可以直接錄入，但是v2我保持疑問 如果真有這種情況，也會通過其它路徑走到，到時候更新v2就可以了）

代碼解釋：
collected[V] 代表的是這個點V是否已經作爲一個源點在四周查找鄰接點過了；
E<V,W> 表示帶權路徑<V,W>的權重值
dist[W] 距離源點的距離（最終結果都是最短距離）
path[W] 走到這個點的上一點是什麼（最終能通過path定位到數組下標，一直回溯就會回到起點，路徑數字化表現可以用堆棧實現）

進入函數：傳參vertex s爲頂點v1的下標（實質上就是int v），進入while循環
Step 1 : 從dist數組進行遍歷，尋找未收錄頂點中 dist最小者爲新的出發點，此時是v4。然後將其標記爲「已訪問」，開始遍歷v4的每個鄰接點（v3, v5, v6, v7），並且這些鄰接點都得是「未訪問過」 （如果已訪問過，表示這個點已經求出最短路了，再去訪問浪費時間）。如果v4的dist加上v4->vi的權重小於vi已保存的dist（這條路更近），那就更新vi的dist，並且更新vi的path爲v4，第一輪循環結果如下：

Step 2 : v4結束，繼續從dist數組中遍歷尋找新的出發點，易得爲v2，此時將v2作爲V，標記「已訪問」，再開始訪問v2的鄰接點。v4已訪問過，因此不考慮；v5未訪問過，但是dist[V]+E<v2,v5> = 12 > 3，因此不更新。v2循環結束。

Step 3 ：這時該從v3開始，v3的鄰接點爲v6，此時dist[V] + E<v3,v6> = 8 < 9，因此更新dist[v6]和path[v6]。

以下類似不多贅述，最終更新結果爲：

舉例：求v1到v6的最短路的路徑
直接找到v6，再通過path[v6]能得出v6的上一點爲v7，找到v7
再通過path[v7]找到上一點爲v4，以此類推能得到一串數字：6-7-4-1，放入堆棧就能轉換爲1-4-7-6即路徑。

多元最短路算法
就是將每個點都作爲起點，然後都給求一次各點的最短路