Comet Contest#11 F arewell（DAG計數+FWT子集卷積）

傳送門.

題解：

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4月YY集訓時作過DAG計數，和這個基本上是同樣的，可是當時好像直接暴力子集卷積，否則我省選時不至於不會，這個就多了個邊不選的機率和子集卷積。

DAG計數是個套路來的，利用的是DAG中入度爲0的點。

設\(f[S]\)表示只考慮s裏的點的誘導子圖造成DAG的方案數。

枚舉一個\(T|S~\and~T=\empty\)，這個T就是新的圖中度數爲0的點，首先它們之間要沒有邊，而後\(T\)和\(S\)間的邊要麼沒有，要麼都由\(T->S\)，記\(cnt[S]\)表示S裏的邊數，這轉移係數是：
\({1\over 3}^{g[T]}*{{2\over 3}^{g[S+T]}\over {2\over 3}^{g[S]+g{T}}}\)

注意這樣會算重，由於會枚舉到度數爲0的點的子集，那麼容斥係數\((-1)^{|T|+1}\)，考慮用\(\sum_{i=1}^{|T|}(-1)^{i+1}*C_{|T|}^i=1\)來證實。

直接卷積是\(O(3^n)\)，而後就上or FWT + 1的個數的老套路了，複雜度\(O(2^n*n^2)\)。

Code:

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#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;

const int mo = 998244353;

ll ksm(ll x, ll y) {
    ll s = 1;
    for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
        if(y & 1) s = s * x % mo;
    return s;
}

const ll w1 = ksm(3, mo - 2), w2 = 2 * ksm(3, mo - 2) % mo;
const ll nw1 = ksm(w1, mo - 2), nw2 = ksm(w2, mo - 2);

const int N = 21;

const int M = 1 << 20;
int n, m, x, y, a2[N];
int bz[N][N];
ll f[M], nf[M], g[M];
int cnt[M];

void dft(int *a, int n, int f) {
    for(int h = 1; h < n; h *= 2) for(int j = 0; j < n; j += 2 * h) ff(i, 0, h) {
        if(f == 1) a[i + j + h] = (a[i + j + h] + a[i + j]) % mo; else
            a[i + j + h] = (a[i + j + h] - a[i + j]) % mo;
    }
}

int a[21][M], b[21][M];

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    a2[0] = 1; fo(i, 1, n) a2[i] = a2[i - 1] * 2;
    fo(i, 1, m) {
        scanf("%d %d", &x, &y);
        x --; y --;
        bz[x][y] = 1;
    }
    ff(s, 1, a2[n]) cnt[s] = cnt[s - (s & -s)] + 1;
    ff(s, 0, a2[n]) {
        f[s] = g[s] = nf[s] = 1;
        if(s == 0) continue;
        int st;
        ff(i, 0, n) if(s >> i & 1) { st = i;}
        f[s] = f[s ^ (1 << st)];
        g[s] = g[s ^ (1 << st)];
        nf[s] = nf[s ^ (1 << st)];
        ff(i, 0, st) if(s >> i & 1) {
            if(bz[st][i]) f[s] = f[s] * w2 % mo, nf[s] = nf[s] * nw2 % mo, g[s] = g[s] * w1 % mo;
            if(bz[i][st]) f[s] = f[s] * w2 % mo, nf[s] = nf[s] * nw2 % mo, g[s] = g[s] * w1 % mo;
        }
    }
    fo(i, 1, n) {
        ff(j, 0, a2[n]) if(cnt[j] == i)
            b[i][j] = nf[j] * g[j] % mo * ((cnt[j] & 1) ? 1 : -1);
        dft(b[i], a2[n], 1);
    }
    a[0][0] = 1; dft(a[0], a2[n], 1);
    fo(w, 0, n) {
        fo(j, 1, n - w) {
            ff(i, 0, a2[n]) a[j + w][i] = ((ll) a[w][i] * b[j][i] + a[j + w][i]) % mo;
        }
    }
    dft(a[n], a2[n], -1);
    ll ans =  a[n][a2[n] - 1];
    ans = (ans % mo  + mo) * f[a2[n] - 1] % mo;
    pp("%lld\n", ans);
}