數據結構-平衡二叉樹

1、基本概念                                                       

從查找時間上來考慮，高度爲n的二叉查找樹(Binary Search Tree)，在最壞的狀況下查找時間爲O(n)。而最好的狀況下查找時間是O(logn)，所以咱們指望二叉樹永遠處於最好的狀況。

基於這個指望，1962年阿德爾森-維爾斯和蘭迪斯(Adelson-Velskii and Landis)提出了一種節點在高度上相對平衡的二叉查找樹，它的平均和最壞狀況下的查找時間都是O(logn)，同時插入和刪除的時間複雜性也會保持O(logn),且在插入或刪除以後，高度上仍然保持平衡。這種樹稱爲平衡二叉樹(Balanced Binary Tree)。因爲提出者的緣由，平衡二叉樹也被稱爲AVL樹。

2、平衡二叉樹的特色                                                 

平衡二叉樹是一個高級的二叉排序樹(Binary Search Tree)，除二叉排序樹的特色外：

（1）左右子樹深度差的絕對值不超過1；

（2）左右子樹也是平衡二叉樹。

平衡因子：BF = 左子樹的深度 - 右子樹的深度。

平衡因子的取值只能是一、0、-1。若其絕對值大於，則失去平衡性。

3、算法思想                                                        

若一顆平衡二叉樹被插入一個新的節點後失去了平衡性。首先要找出失去平衡的最小子樹的根節點的指針。而後調整這顆子樹中節點之間的位置關係，使其恢復平衡性。

失去平衡的最小子樹是指離插入節點最近且平衡因子絕對值大於1的根節點所在的最小子樹。

若A爲失去平衡性的最小子樹的根節點，則恢復平衡性的辦法可概括爲如下四種：

(1)LL(左孩子的左子樹)型平衡旋轉法

 插入前：A的左子樹B和右子樹E的深度分別爲1和0，所以A的平衡因子是1，處於平衡狀態，

               同理，其B子樹和E子樹也是處於平衡狀態的。

插入後：A的左子樹B和右子樹的深度分別爲2和0，所以A的平衡因子是2，處於非平衡狀態。

              而B子樹和E子樹此時是處於平衡狀態的。

• 分析：因爲在A的左孩子B的左子樹上插入F節點，使A失去了平衡性，所以採用LL型旋轉法(一次順時針旋轉操做)。
• 旋轉：將B節點向右上順時針旋轉，代替A做爲根節點，A向右下旋轉成爲B的右子樹的根節點。
• 調整：因爲旋轉後的B節點此時擁有三顆子樹，所以它不符合平衡二叉樹的性質，須要繼續調整。因爲B<D<A，將D調整做爲A的左子樹。

通過以上三個步驟，插入F後的平衡二叉樹又恢復了平衡狀態，具體過程由下圖所示：