codechef : TREDEG , Trees and Degrees

其實有原題，生成樹計數

然鵝這題裏面是兩道題， 50pts 能夠用上面那題的作法直接過掉，另外 50pts 要推推式子，搞出 O n 的作法才行（畢竟多項式常數之大您是知道的）

雖然說這道題裏面是沒有 a_i 的，也不用分治合併多項式的就是了，因此大體思路看我另外一題的題解就行了，這裏對於前 50pts 的作法只給出式子：

\[ANS_n= {(n-2)! \Big( [x^{n-2}] \big(\sum_{i=0}^\infty (i+1) ^m {x^i \over i! } \big)^n \Big)\over n^{n-2}}\]

咱們先康康咱們本來要求的多項式變成了什麼：

\[ [x^{n-2}] \big(\sum_{i=0}^\infty (i+1) {x^i\over i!} \big)^n\]

而後咱們就考慮轉成 EXP 咯

\[\begin{aligned} &[x^{n-2}]\Big(\sum_{i=0}^\infty (i+1) {x^i\over i!} \Big)^n\\=& [x^{n-2}]\Big(e^x(x+1)\Big)^n \\=&[x^{n-2}] e^{nx}·(x+1)^n \\=& \sum_{i=2}^{n} {n^{i-2}\over (i-2)!} ·{n!\over (n-i)!· i!} \end{aligned}\]

注意，這裏亂轉 EXP 的時候千萬要記得運算，否則就像我同樣多加了一個 -x 而後死都化不出來了

而後咱預處理完 階乘 及其 逆元 就能夠 O n 出解了

//by Judge
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
#define Rg register
#define fp(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int iG=332748118;
const int M=5e6+3;
typedef int arr[M];
#ifndef Judge
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int inc(int x,int y){return (x+=y)>=mod?x-mod:x;}
inline int dec(int x,int y){return (x-=y)<0?x+mod:x;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline int read(){ int x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
} int n,m,res,limit; arr fac,finv,A,B,C,r;
inline int qpow(Rg int x,Rg int p=mod-2,int s=1){
    for(;p;p>>=1,x=mul(x,x)) if(p&1) s=mul(s,x); return s;
}
inline void init(int n){ int l=-1;
    for(limit=1;limit<n;limit<<=1)++l;
    fp(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
}
inline void NTT(int* a,int tp){
    fp(i,0,limit-1) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(Rg int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
        int Gn=qpow(tp?3:iG,(mod-1)/(mid<<1));
        for(Rg int j=0,I=mid<<1,x,y;j<limit;j+=I)
            for(Rg int k=0,g=1;k<mid;++k,g=mul(g,Gn))
                x=a[j+k],y=mul(a[j+k+mid],g),
                a[j+k]=(x+y)%mod,a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;
    } if(tp) return; int inv=qpow(limit);
    fp(i,0,limit-1) a[i]=mul(a[i],inv);
}
void Inv(int* a,int* b,int n){ static arr C,D;
    if(n==1) return b[0]=qpow(a[0]),void();
    Inv(a,b,n>>1),init(n<<1);
    fp(i,0,n-1) C[i]=a[i],D[i]=b[i];
    fp(i,n,limit-1) C[i]=D[i]=0; NTT(C,1),NTT(D,1);
    fp(i,0,limit-1) C[i]=mul(C[i],mul(D[i],D[i]));
    NTT(C,0); fp(i,n,limit-1) b[i]=0;
    fp(i,0,n-1) b[i]=dec(inc(b[i],b[i]),C[i]);
}
inline void Direv(int* a,int* b,int n){
    fp(i,1,n-1) b[i-1]=mul(a[i],i); b[n-1]=0;
}
inline void Inter(int* a,int* b,int n){
    fp(i,1,n-1) b[i]=mul(a[i-1],qpow(i)); b[0]=0;
}
void Ln(int* a,int* b,int n){ static arr C,D;
    Inv(a,C,n),Direv(a,D,n),init(n<<1);
    fp(i,n,limit-1) C[i]=D[i]=0; NTT(C,1),NTT(D,1);
    fp(i,0,limit-1) C[i]=mul(C[i],D[i]); NTT(C,0),Inter(C,b,n);
}
void Exp(int* a,int* b,int n){
    if(n==1) return b[0]=1,void(); static arr B;
    Exp(a,b,n>>1),Ln(b,B,n),B[0]=dec(a[0]+1,B[0]); init(n<<1);
    fp(i,1,n-1) B[i]=dec(a[i],B[i]); fp(i,n,limit-1) B[i]=0;
    NTT(B,1),NTT(b,1); fp(i,0,limit-1) b[i]=mul(b[i],B[i]);
    NTT(b,0); fp(i,n,limit-1) b[i]=B[i]=0;
}
int main(){
    ///    pre calc
    n=2e6,fac[0]=finv[0]=finv[1]=1;
    fp(i,1,n) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    fp(i,2,n) finv[i]=mul(mod-mod/i,finv[mod%i]);
    fp(i,2,n) finv[i]=mul(finv[i-1],finv[i]);
    fp(Stp,1,read()){ n=read(),m=read();
        Rg int len=1; while(len<=n) len<<=1;
        if(m==1){
            Rg int x=1,ans=0;
            fp(i,2,n) ans=inc(ans,mul(x,mul(fac[n],mul(finv[i-2],mul(finv[n-i],finv[i]))))),x=mul(x,n);
            printf("%d\n",mul(mul(fac[n-2],ans),qpow(qpow(n,n-2))));
        } else{
            fp(i,0,n) A[i]=mul(qpow(i+1,m),finv[i]); Ln(A,B,len);
            fp(i,0,n) B[i]=mul(B[i],n),A[i]=0; Exp(B,A,len);
            printf("%d\n",mul(mul(fac[n-2],A[n-2]),qpow(qpow(n,n-2))));
            memset(A,0,(len+2)<<3);
        }
    } return 0;
}