Python小白的數學建模課-A2.2021年數維杯C題（運動會優化比賽模式探索）探討

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運動會優化比賽模式問題，是公平分配問題

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2021第六屆數維杯大學生數學建模 賽題已於5月27日公佈，C題是"運動會優化比賽模式探索"。本文對賽題進行一些分析討論。因爲競賽時間爲 2021年5月27-30日20:00，目前尚處於競賽中，本文僅作初步分析。

1. 賽題內容（運動會優化比賽模式探索）

在大學的運動會中，因爲大學各學院同窗人數與性別之間的差別很大，並且部分學院招收的體育特長生也參加運動會，這就致使各學院在運動會的成績差別很大。部分學院常年排名領先，而另外一些學院不論如何努力也很難取得很好的成績，從而影響你們的參與熱情。所以，咱們須要研究如何改革賽制，以實現保障公平、兼顧效率的目標。

目前，某大學運動會的積分規則爲：第一名得9分，第二名至第八名得到7至1分；各學院男生和女生累積得分最終構成團體得分。附件1中給出了該大學20個學院，104個專業，共計28523名學生的分佈狀況數據。本文將結合此數據，研究如下問題：

問題1：若是比賽容許若干學院合併後共同參加比賽，如何設計一個分組數量不低於12個組、各組人員總數和男女性別比較爲均衡的優化分配模型？並對該分組方案的公平指數進行討論。

問題2：若是對各學院按照甲組、乙組分類的模式進行比賽，如何設計一個最優的甲乙分組方案？並對該分組方案的公平指數進行討論。

問題3：若是體育特長生能夠跨學院參加比賽，如何設計一個儘可能保障各學院比賽實力更爲均衡的方案？若是特長生不參加比賽，如何設計一個對各學院相對公平的加權積分方案？

問題4：經過計算機仿真模擬或理論推導，證實上述四種優化比賽模式哪一個更好?

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2. 賽題解讀（運動會優化比賽模式探索）

賽題共有四個問題，問題 1～3 要求對於 4種運動會賽制改革的思路要求，分別設計具體的實現方案，以達到各參賽單位的公平性最優。問題 4 是比較所設計的 4種方案，哪一種方案的公平性最好。

對於公平，每一個人會有不一樣的理解。賽題也給出了多種不一樣的要求，即問題 1～3，分別體現出不一樣的追求公平的思想，也就是對公平的不一樣理解。

問題 1 經過合併組隊，使各組人員總數和男女性別比較爲均衡，這種思想是實現人數、比例的均衡。問題 2 經過分紅甲組乙組比賽，使不一樣學院都有機會得到積分，這種思想是根據現有條件分類以減少使同類中個體的差別。

問題 3 的第一問要求「各學院比賽實力更爲均衡」，這與「各學院/參賽單位相對公平」的含義並不徹底相同，可是也能夠經過假設將它們解釋爲同一律念，我認爲各學院實力更均衡，就能「使各參賽單位相對公平」，這麼想、這麼假設也沒錯吧。

問題 3 的第二問要求「對各學院相對公平的加權積分方案」，與「各學院比賽實力更爲均衡」是不一樣的，但也是另外一種「使各參賽單位相對公平」的思路或方案，也能夠經過假設使這一目標更具體、更容易以量化指標描述。

問題4 是不言而喻的。若是解決了問題 1～3，在每一個問題的條件下已經提出了 4種設計方案，顯然這些方案不是拍腦殼蒙出來的，而是按照某種評價指標優化而獲得的，那麼只要對比這 4種方案的指標性能，就能夠證實其中哪種優化比賽方式更好。

若是隻考慮問題 1～3，雖然總的目標都是「相對公平」，但具體要求、具體目標也有細微差別。所以，對於每一個問題，是能夠設計不一樣的具體量化的優化指標函數的。

可是，考慮到問題 4的須要，也能夠構造統一的量化優化指標函數，這對於解答問題 4 特別有利，直接比較問題 1～3 的統一量化指標就獲得答案了。

所以，在解決問題 1～3 時，雖然是按照相應的評價指標進行優化，但各問題還要有統一的評價指標的。因爲問題 1～3 的要求基本上都是「相對公平」，因此採用統一的評價指標也是徹底合理、可行的。

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3. 優化目標

問題 1 ～3 都是優化問題，要求根據不一樣要求或者說約束條件設計優化方案。

那麼，首先要考慮優化目標是什麼，能不能提出可量化、可計算的優化目標函數。不難看出，背景資料和每一個問題中都涉及」公平「：問題 一、2 明確要求討論 」公平指數「，問題 3 要求設計」更爲均衡「、」相對公平「的方案，問題 4 要求比較哪一種優化模式更好。如何比較，根據什麼比較，就是」公平「的程度，就是題目中所說的」公平指數「。

什麼是」公平指數「，如何量化公平指數，給出公平指數的數學表達式？

注意，問題 1 的原文是 「各組人員總數和男女性別比較爲均衡的優化分配模型」，並「討論方案的公平指數」；問題 2 的原文是「最優的甲乙分組方案」，並「討論方案的公平指數」。所以，求解這兩個問題時的優化目標不是「公平指數」，但須要計算「公平指數」並與最初的方案進行比較，以展開討論，並用於問題 4 的求解。

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4. 公平分配問題

4.1 什麼是公平分配？

分配公平是我的對所獲報酬的公正知覺，也就是依據必定的標準對分配最終結果的評價，亦稱結果公平。分配公平主要表現爲我的消費品分配的相對公平，要求社會成員之間的收入差距不能過於懸殊。我的收入的社會分配是否公平，不取決於有沒有差距，而取決於這種差距是否合法、合情合理、合乎民生髮展。

4.2 公平指數

絕對不公平度

相對不公平度

4.3 公平分配問題經常使用算法

限於時間，本文持續更新後發佈...

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