『科學計算_理論』矩陣求導

時間 2019-12-08

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標量對矩陣求導

矩陣求導的技術，在統計學、控制論、機器學習等領域有普遍的應用。鑑於我看過的一些資料或言之不詳、或繁亂無緒，本文來作個科普，分做兩篇，上篇講標量對矩陣的求導術，下篇講矩陣對矩陣的求導術。本文使用小寫字母x表示標量，粗體小寫字母 $\boldsymbol{x}$ 表示向量，大寫字母X表示矩陣。機器學習

首先來琢磨一下定義，標量f對矩陣X的導數，定義爲 $\frac{\partial f}{\partial X} := \left[\frac{\partial f }{\partial X_{ij}}\right]$ ，即f對X逐元素求導排成與X尺寸相同的矩陣。然而，這個定義在計算中並很差用，實用上的緣由是在對較複雜的函數難以逐元素求導；哲理上的緣由是逐元素求導破壞了總體性。試想，爲什麼要將f看作矩陣X而不是各元素 $X_{ij}$ 的函數呢？答案是用矩陣運算更整潔。因此在求導時不宜拆開矩陣，而是要找一個從總體出發的算法。爲此，咱們來回顧，一元微積分中的導數（標量對標量的導數）與微分有聯繫：；多元微積分中的梯度（標量對向量的導數）也與微分有聯繫： $df = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$ ，這裏第一個等號是全微分公式，第二個等號表達了梯度 $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}$ 與微分的聯繫；受此啓發，咱們將矩陣導數與微分創建聯繫： $df = \sum_{i,j} \frac{\partial f}{\partial X_{ij}}dX_{ij} = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，這裏tr表明跡(trace)是方陣對角線元素之和，知足性質：對尺寸相同的矩陣A,B， $\text{tr}(A^TB) = \sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$ ，這用泛函分析的語言來講 $\text{tr}(A^TB)$ 是矩陣A,B的內積，所以上式與原定義相容。

函數

而後來創建運算法則。回想遇到較複雜的一元函數如 $f = \log(2+\sin x)e^{\sqrt{x}}$ ，咱們是如何求導的呢？一般不是從定義開始求極限，而是先創建了初等函數求導和四則運算、複合等法則，再來運用這些法則。故而，咱們來創立經常使用的矩陣微分的運算法則：學習

加減法： $d(X\pm Y) = dX \pm dY$ ；矩陣乘法：；轉置：；跡： $d\text{tr}(X) = \text{tr}(dX)$ 。
逆： $dX^{-1} = -X^{-1}dX X^{-1}$ 。此式可在 $XX^{-1}=I$ 兩側求微分來證實。
行列式： $d|X| = \text{tr}(X^{\#}dX)$ ，其中 $X^{\#}$ 表示X的伴隨矩陣，在X可逆時又能夠寫做 $d|X|= |X|\text{tr}(X^{-1}dX)$ 。此式可用Laplace展開來證實，詳見張賢達《矩陣分析與應用》第279頁。
逐元素乘法： $d(X\odot Y) = dX\odot Y + X\odot dY$ ， $\odot$ 表示尺寸相同的矩陣X,Y逐元素相乘。
逐元素函數： $d\sigma(X) = \sigma'(X)\odot dX$ ， $\sigma(X) = \left[\sigma(X_{ij})\right]$ 是逐元素運算的標量函數。

咱們試圖利用矩陣導數與微分的聯繫 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，在求出左側的微分後，該如何寫成右側的形式並獲得導數呢？這須要一些跡技巧(trace trick)：優化

標量套上跡： $a = \text{tr}(a)$ 。
轉置： $\mathrm{tr}(A^T) = \mathrm{tr}(A)$ 。
線性： $\text{tr}(A\pm B) = \text{tr}(A)\pm \text{tr}(B)$ 。
矩陣乘法交換： $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ 。兩側都等於 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}$ 。
矩陣乘法/逐元素乘法交換： $\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)$ 。兩側都等於 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}$ 。

觀察一下能夠斷言，若標量函數f是矩陣X經加減乘法、行列式、逆、逐元素函數等運算構成，則使用相應的運算法則對f求微分，再使用跡技巧給df套上跡並將其它項交換至dX左側，即能獲得導數。get

在創建法則的最後，來談一談複合：假設已求得 $\frac{\partial f}{\partial Y}$ ，而Y是X的函數，如何求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 呢？在微積分中有標量求導的鏈式法則 $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}$ ，但這裏咱們不能沿用鏈式法則，由於矩陣對矩陣的導數 $\frac{\partial Y}{\partial X}$ 截至目前還是未定義的。因而咱們繼續追本溯源，鏈式法則是從何而來？源頭仍然是微分。咱們直接從微分入手創建複合法則：先寫出 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right)$ ，再將dY用dX表示出來代入，並使用跡技巧將其餘項交換至dX左側，便可獲得 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。

數學

接下來演示一些算例。特別提醒要依據已經創建的運算法則來計算，不能隨意套用微積分中標量導數的結論，好比認爲AX對X的導數爲A，這是沒有根據、意義不明的。io

例1： $f = \boldsymbol{a}^T X\boldsymbol{b}$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。變量

解：先使用矩陣乘法法則求微分： $df = \boldsymbol{a}^T dX\boldsymbol{b}$ ，再套上跡並作交換： $df = \text{tr}(\boldsymbol{a}^TdX\boldsymbol{b}) = \text{tr}(\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^TdX)$ ，對照導數與微分的聯繫，獲得 $\frac{\partial f}{\partial X} = \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T$ 。

注意：這裏不能用 $\frac{\partial f}{\partial X} =\boldsymbol{a}^T \frac{\partial X}{\partial X}\boldsymbol{b}=?$ ，導數與乘常數矩陣的交換是不合法則的運算（而微分是合法的）。有些資料在計算矩陣導數時，會略過求微分這一步，這是邏輯上解釋不通的。

例2【線性迴歸】： $l = \|X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y}\|^2$ ，求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}$ 。

解：嚴格來講這是標量對向量的導數，不過能夠把向量看作矩陣的特例。將向量範數寫成 $l = (X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})^T(X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})$ ，求微分，使用矩陣乘法、轉置等法則： $dl = (Xd\boldsymbol{w})^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})+(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^T(Xd\boldsymbol{w}) = 2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TXd\boldsymbol{w}$ 。對照導數與微分的聯繫，獲得 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}= 2X^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})$ 。

例3【多元logistic迴歸】： $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W\boldsymbol{x})$ ，求 $\frac{\partial l}{\partial W}$ 。其中 $\boldsymbol{y}$ 是除一個元素爲1外其它元素爲0的向量； $\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}$ ，其中 $\exp(\boldsymbol{a})$ 表示逐元素求指數， $\boldsymbol{1}$ 表明全1向量。

解：首先將softmax函數代入並寫成 $l = -\boldsymbol{y}^T \left(\log (\exp(W\boldsymbol{x}))-\boldsymbol{1}\log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))\right) = -\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))$ ，這裏要注意向量除標量求逐元素log知足 $\log(\boldsymbol{b}/c) = \log(\boldsymbol{b}) - \boldsymbol{1}\log(c)$ ，以及 $\boldsymbol{y}$ 知足 $\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{1} = 1$ 。求微分，使用矩陣乘法、逐元素函數等法則： $dl =- \boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right)}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}$ 。再套上跡並作交換，其中第二項的分子是 $\text{tr}\left(\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right)\right) = \text{tr}\left((\boldsymbol{1}\odot\exp(W\boldsymbol{x}))^TdW\boldsymbol{x}\right) = \text{tr}(\exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x})$ ，故 $dl = \text{tr}\left(-\boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}\right) =\text{tr}(\boldsymbol{x}(\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})^TdW)$ 。對照導數與微分的聯繫，獲得 $\frac{\partial l}{\partial W}= (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T$ 。

另解：定義 $\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}$ ，則 $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a})$ ，先如上求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}} = \text{softmax}(\boldsymbol{a})-\boldsymbol{y}$ ，再利用複合法則： $dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^Td\boldsymbol{a}\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW \boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW\right)$ ，獲得 $\frac{\partial l}{\partial W}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}^T$ 。

例4【方差的最大似然估計】：樣本 $\boldsymbol{x}_1,\dots, \boldsymbol{x}_n\sim N(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$ ，其中 $\Sigma$ 是對稱正定矩陣，求方差 $\Sigma$ 的最大似然估計。寫成數學式是： $l = \log|\Sigma|+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ ，求 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}$ 的零點。

解：首先求微分，使用矩陣乘法、行列式、逆等運算法則，第一項是 $d\log|\Sigma| = |\Sigma|^{-1}d|\Sigma| = \text{tr}(\Sigma^{-1}d\Sigma)$ ，第二項是 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^Td\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}) = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ 。再給第二項套上跡作交換： $dl = \text{tr}\left(\left(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S_n\Sigma^{-1}\right)d\Sigma\right)$ ，其中 $S_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T$ 定義爲樣本方差。對照導數與微分的聯繫，有 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}=(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S_n\Sigma^{-1})^T$ ，其零點即 $\Sigma$ 的最大似然估計爲 $\Sigma = S_n$ 。

最後一例留給經典的神經網絡。神經網絡的求導術是學術史上的重要成果，還有個專門的名字叫作BP算法，我相信現在不少人在初次推導BP算法時也會頗費一番腦筋，事實上使用矩陣求導術來推導並不複雜。爲簡化起見，咱們推導二層神經網絡的BP算法。

例5【二層神經網絡】： $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W_2\sigma(W_1\boldsymbol{x}))$ ，求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}$ 和 $\frac{\partial l}{\partial W_2}$ 。其中 $\boldsymbol{y}$ 是除一個元素爲1外其它元素爲0的向量， $\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}$ 同例3， $\sigma(\cdot)$ 是逐元素sigmoid函數 $\sigma(a) = \frac{1}{1+\exp(-a)}$ 。

解：定義 $\boldsymbol{a}_1=W_1\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{h}_1 = \sigma(\boldsymbol{a}_1)$ ， $\boldsymbol{a}_2 = W_2 \boldsymbol{h}_1$ ，則 $l =-\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)$ 。在例3中已求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2} = \text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)-\boldsymbol{y}$ 。使用複合法則，注意此處 $\boldsymbol{h}_1, W_2$ 都是變量： $dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^Td\boldsymbol{a}_2\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TdW_2 \boldsymbol{h}_1\right) + \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TW_2 d\boldsymbol{h}_1\right)$ ，使用矩陣乘法交換的跡技巧從第一項獲得 $\frac{\partial l}{\partial W_2}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}\boldsymbol{h}_1^T$ ，從第二項獲得 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_1}= W_2^T\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}$ 。接下來求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}$ ，繼續使用複合法則，並利用矩陣乘法和逐元素乘法交換的跡技巧： $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^Td\boldsymbol{h}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^T(\sigma'(\boldsymbol{a}_1)\odot d\boldsymbol{a}_1)\right) = \text{tr}\left(\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot \sigma'(\boldsymbol{a}_1)\right)^Td\boldsymbol{a}_1\right)$ ，獲得 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot\sigma'(\boldsymbol{a}_1)$ 。爲求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}$ ，再用一次複合法則： $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^Td\boldsymbol{a}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\right)$ ，獲得 $\frac{\partial l}{\partial W_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}\boldsymbol{x}^T$ 。

矩陣對矩陣求導

使用小寫字母x表示標量，粗體小寫字母 $\boldsymbol{x}$ 表示列向量，大寫字母X表示矩陣。矩陣對矩陣的求導採用了向量化的思路，常應用於二階方法求解優化問題。

首先來琢磨一下定義。矩陣對矩陣的導數，須要什麼樣的定義？第一，矩陣F(p×q)對矩陣X(m×n)的導數應包含全部mnpq個偏導數 $\frac{\partial F_{kl}}{\partial X_{ij}}$ ，從而不損失信息；第二，導數與微分有簡明的聯繫，由於在計算導數和應用中須要這個聯繫；第三，導數有簡明的從總體出發的算法。咱們先定義向量 $\boldsymbol{f}$ (p×1)對向量 $\boldsymbol{x}$ (m×1)的導數 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} := \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_m} & \frac{\partial f_2}{\partial x_m} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_m}\\ \end{bmatrix}$ (m×p)，有 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x}$ ；再定義矩陣的（按列優先）向量化 $\mathrm{vec}(X) := [X_{11}, \ldots, X_{m1}, X_{12}, \ldots, X_{m2}, \ldots, X_{1n}, \ldots, X_{mn}]^T$ (mn×1)，並定義矩陣F對矩陣X的導數 $\frac{\partial F}{\partial X} := \frac{\partial \mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}$ (mn×pq)。導數與微分有聯繫 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ 。幾點說明以下：

按此定義，標量f對矩陣X(m×n)的導數 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 是mn×1向量，與上篇的定義不兼容，不過兩者容易相互轉換。爲避免混淆，用記號 $\nabla_X f$ 表示上篇定義的m×n矩陣，則有 $\frac{\partial f}{\partial X}=\mathrm{vec}(\nabla_X f)$ 。雖然本篇的技術能夠用於標量對矩陣求導這種特殊狀況，但使用上篇中的技術更方便。讀者能夠經過上篇中的算例試驗兩種方法的等價轉換。
標量對矩陣的二階導數，又稱Hessian矩陣，定義爲 $\nabla^2_X f := \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} = \frac{\partial \nabla_X f}{\partial X}$ (mn×mn)，是對稱矩陣。對 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 或 $\nabla_X f$ 求導均可以獲得Hessian矩陣，但從矩陣 $\nabla_X f$ 出發更方便。
$\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial\mathrm{vec} (F)}{\partial X} = \frac{\partial F}{\partial \mathrm{vec}(X)} = \frac{\partial\mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}$ ，求導時矩陣被向量化，弊端是這在必定程度破壞了矩陣的結構，會致使結果變得形式複雜；好處是多元微積分中關於梯度、Hessian矩陣的結論能夠沿用過來，只需將矩陣向量化。例如優化問題中，牛頓法的更新 $\Delta X$ ，知足 $\mathrm{vec}(\Delta X) = -(\nabla^2_X f)^{-1}\mathrm{vec}(\nabla_X f)$ 。
在資料中，矩陣對矩陣的導數還有其它定義，好比 $\frac{\partial F}{\partial X} := \left[\frac{\partial F_{kl}}{\partial X}\right]$ (mp×nq)，它能兼容上篇中的標量對矩陣導數的定義，但微分與導數的聯繫（dF等於 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 中每一個m×n子塊分別與dX作內積）不夠簡明，不便於計算和應用。

而後來創建運算法則。仍然要利用導數與微分的聯繫 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ ，求微分的方法與上篇相同，而從微分獲得導數須要一些向量化的技巧：

線性： $\mathrm{vec}(A+B) = \mathrm{vec}(A) + \mathrm{vec}(B)$ 。
矩陣乘法： $\mathrm{vec}(AXB) = (B^T \otimes A) \mathrm{vec}(X)$ ，其中 $\otimes$ 表示Kronecker積，A(m×n)與B(p×q)的Kronecker積是 $A\otimes B := [A_{ij}B]$ (mp×nq)。此式證實見張賢達《矩陣分析與應用》第107-108頁。
轉置： $\mathrm{vec}(A^T) = K_{mn}\mathrm{vec}(A)$ ，A是m×n矩陣，其中 $K_{mn}$ (mn×mn)是交換矩陣(commutation matrix)。
逐元素乘法： $\mathrm{vec}(A\odot X) = \mathrm{diag}(A)\mathrm{vec}(X)$ ，其中 $\mathrm{diag}(A)$ (mn×mn)是用A的元素（按列優先）排成的對角陣。

觀察一下能夠斷言，若矩陣函數F是矩陣X經加減乘法、行列式、逆、逐元素函數等運算構成，則使用相應的運算法則對F求微分，再作向量化並使用技巧將其它項交換至vec(dX)左側，即能獲得導數。

再談一談複合：假設已求得 $\frac{\partial F}{\partial Y}$ ，而Y是X的函數，如何求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 呢？從導數與微分的聯繫入手， $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\mathrm{vec}(dY) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\frac{\partial Y}{\partial X}^T\mathrm{vec}(dX)$ ，能夠推出鏈式法則 $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial Y}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}$ 。

和標量對矩陣的導數相比，矩陣對矩陣的導數形式更加複雜，從不一樣角度出發常會獲得形式不一樣的結果。有一些Kronecker積和交換矩陣相關的恆等式，可用來作等價變形：

$(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T$ 。
$\mathrm{vec}(\boldsymbol{ab}^T) = \boldsymbol{b}\otimes\boldsymbol{a}$ 。
$(A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)$ 。能夠對求導來證實，一方面，直接求導獲得 $\frac{\partial F}{\partial X} = (AC) \otimes (BD)$ ；另外一方面，引入，有 $\frac{\partial F}{\partial Y} = C \otimes D, \frac{\partial Y}{\partial X} = A \otimes B$ ，用鏈式法則獲得 $\frac{\partial F}{\partial X} = (A\otimes B)(C \otimes D)$ 。
$K_{mn} = K_{nm}^T, K_{mn}K_{nm} = I$ 。
$K_{pm}A\otimes B K_{nq} = B\otimes A$ ，A是m×n矩陣，B是p×q矩陣。能夠對作向量化來證實，一方面， $\mathrm{vec}(AXB^T) = (B\otimes A)\mathrm{vec}(X)$ ；另外一方面， $\mathrm{vec}(AXB^T) = K_{pm}\mathrm{vec}(BX^TA^T) = (K_{pm}A\otimes B)\mathrm{vec}(X^T) = (K_{pm}A\otimes B K_{nq})\mathrm{vec}(X)$ 。

接下來演示一些算例。

例1：，X是m×n矩陣，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 。

解：先求微分：，再作向量化，使用矩陣乘法的技巧，注意在dX右側添加單位陣： $\mathrm{vec}(dF) = \mathrm{vec}(AdX) = (I_n\otimes A)\mathrm{vec}(dX)$ ，對照導數與微分的關係獲得 $\frac{\partial F}{\partial X} = I_n\otimes A^T$ 。

例2： $f = \log |X|$ ，X是n×n矩陣，求 $\nabla_X f$ 和 $\nabla^2_X f$ 。

解：使用上篇中的技術可求得 $\nabla_X f = X^{-1T}$ 。爲求 $\nabla^2_X f$ ，先求微分： $d\nabla_X f = -(X^{-1}dXX^{-1})^T$ ，再作向量化，使用轉置和矩陣乘法的技巧 $\mathrm{vec}(d\nabla_X f)= -K_{nn}\mathrm{vec}(X^{-1}dX X^{-1}) = -K_{nn}X^{-1T}\otimes X^{-1}\mathrm{vec}(dX)$ ，對照導數與微分的關係獲得 $\nabla^2_X f = -K_{nn}X^{-1T}\otimes X^{-1}$ 。注意 $\nabla^2_X f$ 是對稱矩陣。在是對稱矩陣時，可簡化爲 $\nabla^2_X f = -X^{-1}\otimes X^{-1}$ 。

例3： $F = A\exp(XB)$ ，A是l×m，X是m×n，B是n×p矩陣，exp()爲逐元素函數，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 。

解：先求微分： $dF = A(\exp(XB)\odot (dXB))$ ，再作向量化，使用矩陣乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{vec}(\exp(XB)\odot (dXB))$ ，再用逐元素乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p \otimes A) \mathrm{diag}(\exp(XB))\mathrm{vec}(dXB)$ ，再用矩陣乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{diag}(\exp(XB))(B^T\otimes I_m)\mathrm{vec}(dX)$ ，對照導數與微分的關係獲得 $\frac{\partial F}{\partial X} = (B\otimes I_m)\mathrm{diag}(\exp(XB))(I_p\otimes A^T)$ 。

最後作個小結。咱們發展了從總體出發的矩陣求導的技術，導數與微分的聯繫是計算的樞紐，標量對矩陣的導數與微分的聯繫是 $df = \mathrm{tr}(\nabla_X^T f dX)$ ，先對f求微分，再使用跡技巧可求得導數；矩陣對矩陣的導數與微分的聯繫是 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ ，先對F求微分，再使用向量化的技巧可求得導數。