有趣的智力題

偶然在訂閱號中看到一些校招的智力題，以爲有點意思，因而花了些時間收集一些，網上搜了下，在此mark下~~

1. 有20瓶藥丸，其中19瓶裝有1克/粒的藥丸，餘下一瓶裝有1.1克/粒的藥丸。給你一臺稱重精準的天平，怎麼找出比較重的那瓶藥丸？天平只能用一次。

解法:有時候，嚴格的限制條件有可能反卻是解題的線索。在這個問題中，限制條件是天平只能用一次。由於天平只能用一次，咱們也得以知道一個有趣的事實：一次必須同時稱不少藥丸，其實更準確地說，是必須從19瓶拿出藥丸進行稱重。不然，若是跳過兩瓶或更多瓶藥丸，又該如何區分沒稱過的那幾瓶呢？別忘了，天平只能用一次。

那麼，該怎麼稱重取自多個藥瓶的藥丸，並肯定哪一瓶裝有比較重的藥丸？假設只有兩瓶藥丸，其中一瓶的藥丸比較重。每瓶取出一粒藥丸，稱得重量爲2.1克，但無從知道這多出來的0.1克來自哪一瓶。咱們必須設法區分這些藥瓶。

若是從藥瓶#1取出一粒藥丸，從藥瓶#2取出兩粒藥丸，那麼，稱得重量爲多少呢？結果要看狀況而定。若是藥瓶#1的藥丸較重，則稱得重量爲3.1克。若是藥瓶#2的藥丸較重，則稱得重量爲3.2克。這就是這個問題的解題竅門。

稱一堆藥丸時，咱們會有個「預期」重量。而藉由預期重量和實測重量之間的差異，就能得出哪一瓶藥丸比較重，前提是從每一個藥瓶取出不一樣數量的藥丸。

將以前兩瓶藥丸的解法加以推廣，就能獲得完整解法：從藥瓶#1取出一粒藥丸，從藥瓶#2取出兩粒，從藥瓶#3取出三粒，依此類推。若是每粒藥丸均重1克，則稱得總重量爲210克（1 + 2 + … + 20 = 20 * 21 / 2 = 210），「多出來的」重量一定來自每粒多0.1克的藥丸。藥瓶的編號可由算式(weight – 210 grams) / 0.1 grams得出。所以，若這堆藥丸稱得重量爲211.3克，則藥瓶#13裝有較重的藥丸。

2.有個8×8棋盤，其中對角的角落上，兩個方格被切掉了。給定31塊多米諾骨牌，一塊骨牌剛好能夠覆蓋兩個方格。用這31塊骨牌可否蓋住整個棋盤？請證實你的答案（提供範例，或證實爲何不可能）。

解法:乍一看，彷佛是能夠蓋住的。棋盤大小爲8×8，共有64個方格，但其中兩個方格已被切掉，所以只剩62個方格。31塊骨牌應該恰好能蓋住整個棋盤，對吧？
嘗試用骨牌蓋住第1行，而第1行只有7個方格，所以有一塊骨牌必須鋪至第2行。而用骨牌蓋住第2行時，咱們又必須將一塊骨牌鋪至第3行。要蓋住每一行，總有一塊骨牌必須鋪至下一行。不管嘗試多少次、多少種方法，咱們都沒法成功鋪下全部骨牌。
其實，還有更簡潔更嚴謹的證實說明爲何不可能。棋盤本來有32個黑格和32個白格。將對角角落上的兩個方格（相同顏色）切掉，棋盤只剩下30個同色的方格和32個另外一種顏色的方格。爲方便論證起見，咱們假定棋盤上剩下30個黑格和32個白格。放在棋盤上的每塊骨牌一定會蓋住一個白格和一個黑格。所以，31塊骨牌正好蓋住31個白格和31個黑格。然而，這個棋盤只有30個黑格和32個白格，因此，31塊骨牌蓋不住整個棋盤。

3.有兩個水壺，容量分別爲5夸脫（美製：1夸脫=0.946升，英制：1夸脫=1.136升）和3夸脫，若水的供應不限量（但沒有量杯），怎麼用這兩個水壺獲得恰好4夸脫的水？注意，這兩個水壺呈不規則形狀，沒法精準地裝滿「半壺」水。

解法

根據題意，咱們只能使用這兩個水壺，不妨隨意把玩一番，把水倒來倒去，能夠獲得以下順序組合：
注意，許多智力題其實都隱含數學或計算機科學的背景，這個問題也不例外。只要這兩個水壺的容量互質（即兩個數沒有共同的質因子），咱們就能找出一種倒水的順序組合，量出1到2個水壺容量總和（含）之間的任意水量。

4.有個島上住着一羣人，有一天來了個遊客，定了一條奇怪的規矩：全部藍眼睛的人都必須儘快離開這個島。每晚8點會有一個航班離島。每一個人都看得見別人眼睛的顏色，但不知道本身的（別人也不能夠告知）。此外，他們不知道島上到底有多少人是藍眼睛的，只知道至少有一我的的眼睛是藍色的。全部藍眼睛的人要花幾天才能離開這個島？

解法:下面將採用簡單構造法。假定這個島上一共有n人，其中c人有藍眼睛。由題目可知，c > 0。

1. 狀況c = 1：只有一人是藍眼睛的

假設島上全部人都是聰明的，藍眼睛的人四處觀察以後，發現沒有人是藍眼睛的。但他知道至少有一人是藍眼睛的，因而就能推導出本身必定是藍眼睛的。所以，他會搭乘當晚的飛機離開。

2.狀況c = 2：只有兩人是藍眼睛的

兩個藍眼睛的人看到對方，並不肯定c是1仍是2，可是由上一種狀況，他們知道，若是c = 1，那個藍眼睛的人第一晚就會離島。所以，發現另外一個藍眼睛的人仍在島上，他必定能推斷出c = 2，也就意味着他本身也是藍眼睛的。因而，兩個藍眼睛的人都會在第二晚離島。

3.狀況c > 2：通常狀況

逐步提升c時，咱們能夠看出上述邏輯仍舊適用。若是c = 3，那麼，這三我的會當即意識到有2到3人是藍眼睛的。若是有兩人是藍眼睛的，那麼這兩人會在第二晚離島。所以，若是過了第二晚另外兩人還在島上，每一個藍眼睛的人都能推斷出c = 3，所以這三人都有藍眼睛。他們會在第三晚離島。

不論c爲何值，均可以套用這個模式。因此，若是有c人是藍眼睛的，則全部藍眼睛的人要用c晚才能離島，且都在同一晚離開。

5.有棟建築物高100層。若從第N層或更高的樓層扔下來，雞蛋就會破掉。若從第N層如下的樓層扔下來則不會破掉。給你2個雞蛋，請找出N，並要求最差狀況下扔雞蛋的次數爲最少。

解法:咱們發現，不管怎麼扔雞蛋1（Egg 1），雞蛋2（Egg 2）都必須在「破掉那一層」和下一個不會破掉的最高樓層之間，逐層扔下樓（從最低的到最高的）。例如，若雞蛋1從5層和10層樓扔下沒破掉，但從15層扔下時破掉了，那麼，在最差狀況下，雞蛋2必須嘗試從十一、十二、13和14層扔下樓。

具體作法:

首先，讓咱們試着從10層開始扔雞蛋，而後是20層，等等。

 若是雞蛋1第一次扔下樓（10層）就破掉了，那麼，最多須要扔10次。

 若是雞蛋1最後一次扔下樓（100層）才破掉，那麼，最多要扔19次（十、20、…、90、100層，而後是91到99層）。

這麼作也挺不錯，但咱們只考慮了絕對最差狀況。咱們應該進行「負載均衡」，讓這兩種狀況下扔雞蛋的次數更均勻。

咱們的目標是設計一種扔雞蛋的方法，使得扔雞蛋1時，不管是在第一次仍是最後一次扔下樓才破掉，次數越穩定越好。

(1) 完美負載均衡的方法應該是，扔雞蛋1的次數加上扔雞蛋2的次數，不論何時都同樣，無論雞蛋1是從哪層樓扔下時破掉的。

(2) 如有這種扔法，每次雞蛋1多扔一次，雞蛋2就能夠少扔一次。

(3) 所以，每丟一次雞蛋1，就應該減小雞蛋2可能須要扔下樓的次數。例如，若是雞蛋1先從20層往下扔，而後從30層扔下樓，此時雞蛋2可能就要扔9次。若雞蛋1再扔一次，咱們必須讓雞蛋2扔下樓的次數降爲8次。也就是說，咱們必須讓雞蛋1從39層扔下樓。

(4) 由此可知，雞蛋1必須從X層開始往下扔，而後再往上增長X1層……直至到達100層。

(5) 求解方程式X + (X1) + (X2) + … + 1 = 100，獲得X (X + 1) / 2 = 100 → X = 14。

咱們先從14層開始，而後是27層，接着是39層，依此類推，最差狀況下雞蛋要扔14次。

正如解決其餘許多最大化/最小化的問題同樣，這類問題的關鍵在於「平衡最差狀況」。

6.走廊上有100個關上的儲物櫃。有我的先是將100個櫃子全都打開。接着，每數兩個櫃子關上一個。而後，在第三輪時，再每隔兩個就切換第三個櫃子的開關狀態（也就是將關上的櫃子打開，將打開的關上）。照此規律反覆操做100次，在第i輪，這我的會每數i個就切換第i個櫃子的狀態。當第100輪通過走廊時，只切換第100個櫃子的開關狀態，此時有幾個櫃子是開着的？

解法:要解決這個問題，咱們必須弄清楚所謂切換儲物櫃開關狀態是什麼意思。這有助於咱們推斷最終哪些櫃子是開着的。

1. 問題：櫃子會在哪幾輪切換狀態（開或關）？

櫃子n會在n的每一個因子（包括1和n自己）對應的那一輪切換狀態。也就是說，櫃子15會在第一、三、5和15輪開或關一次。

1. 問題：櫃子何時仍是開着的？

若是因子個數（記做x）爲奇數，則這個櫃子是開着的。你能夠把一對因子比做開和關，若還剩一個因子，則櫃子就是開着的。

1. 問題：x何時爲奇數？

若n爲徹底平方數，則x的值爲奇數。理由以下：將n的兩個互補因子配對。例如，如n爲36，則因子配對狀況爲：(1, 36)、(2, 18)、(3, 12)、(4, 9)、(6, 6)。注意，(6, 6)其實只有一個因子，所以n的因子個數爲奇數。

1. 問題：有多少個徹底平方數？

一共有10個徹底平方數，你能夠數一數（一、四、九、1六、2五、3六、4九、6四、8一、100），或者，直接列出1到10的平方：
1 * 1, 2 * 2, 3 * 3, …, 10*10

所以，最後共有10個櫃子是開着的。

7.考慮一個雙人遊戲。遊戲在一個圓桌上進行。每一個遊戲者都有足夠多的硬幣。他們須要在桌子上輪流放置硬幣，每次必需且只能放置一枚硬幣，要求硬幣徹底置於桌面內（不能有一部分懸在桌子外面），而且不能與原來放過的硬幣重疊。誰沒有地方放置新的硬幣，誰就輸了。遊戲的先行者仍是後行者有必勝策略？這種策略是什麼？

答案：先行者在桌子中心放置一枚硬幣，之後的硬幣老是放在與後行者剛纔放的地方相對稱的位置。這樣，只要後行者能放，先行者必定也有地方放。先行者必勝。

8.用線性時間和常數附加空間將一篇文章的單詞（不是字符）倒序。

答案：先將整篇文章的全部字符逆序（從兩頭起不斷交換位置相對稱的字符）；而後用一樣的辦法將每一個單詞內部的字符逆序。這樣，整篇文章的單詞順序顛倒了，但單詞自己又被轉回來了。

9.用線性時間和常數附加空間將一個長度爲n的字符串向左循環移動m位（例如，」abcdefg」移動3位就了」defgabc」）。

答案：把字符串切成長爲m和n-m的兩半。將這兩個部分分別逆序，再對整個字符串逆序。

10.** 一個矩形蛋糕，蛋糕內部有一塊矩形的空洞。只用一刀，如何將蛋糕切成大小相等的兩塊？**

答案：注意到平分矩形面積的線都通過矩形的中心。過大矩形和空心矩形各自的中心畫一條線，這條線顯然把兩個矩形都分紅了一半，它們的差固然也是相等的。

11.一塊矩形的巧克力，初始時由N x M個小塊組成。每一次你只能把一塊巧克力掰成兩個小矩形。最少須要幾回才能把它們掰成N x M塊1×1的小巧克力？

答案：N x M – 1次顯然足夠了。這個數目也是必需的，由於每掰一次後當前巧克力的塊數只能增長一，把巧克力分紅N x M塊固然須要至少掰N x M – 1次。

12.如何快速找出一個32位整數的二進制表達裏有多少個」1″？用關於」1″的個數的線性時間？

答案1（關於數字位數線性）：for(n=0; b; b >>= 1) if (b & 1) n++;
答案2（關於」1″的個數線性）：for(n=0; b; n++) b &= b-1;

13.** 一個大小爲N的數組，全部數都是不超過N-1的正整數。用O(N)的時間找出重複的那個數（假設只有一個）。一個大小爲N的數組，全部數都是不超過N+1的正整數。用O(N)的時間找出沒有出現過的那個數（假設只有一個）。**

答案：計算數組中的全部數的和，再計算出從1到N-1的全部數的和，二者之差即爲重複的那個數。計算數組中的全部數的和，再計算出從1到N+1的全部數的和，二者之差即爲缺乏的那個數。

14.給出一行C語言表達式，判斷給定的整數是不是一個2的冪。

答案：(b & (b-1)) == 0

15.地球上有多少個點，使得從該點出發向南走一英里，向東走一英里，再向北走一英里以後剛好回到了起點？

答案：「北極點」是一個傳統的答案，其實這個問題還有其它的答案。事實上，知足要求的點有無窮多個。全部距離南極點1 + 1/(2π)英里的地方都是知足要求的，向南走一英里後到達距離南極點1/(2π)的地方，向東走一英里後正好繞行緯度圈一週，再向北走原路返回到起點。事實上，這仍然不是知足要求的所有點。距離南極點1 + 1/(2kπ)的地方都是能夠的，其中k能夠是任意一個正整數。

16.A、B兩人分別在兩座島上。B生病了，A有B所須要的藥。C有一艘小船和一個能夠上鎖的箱子。C願意在A和B之間運東西，但東西只能放在箱子裏。只要箱子沒被上鎖，C都會偷走箱子裏的東西，無論箱子裏有什麼。若是A和B各自有一把鎖和只能開本身那把鎖的鑰匙，A應該如何把東西安全遞交給B？

答案：A把藥放進箱子，用本身的鎖把箱子鎖上。B拿到箱子後，再在箱子上加一把本身的鎖。箱子運回A後，A取下本身的鎖。箱子再運到B手中時，B取下本身的鎖，得到藥物。

17.一對夫婦邀請N-1對夫婦參加聚會（所以聚會上總共有2N人）。每一個人都和全部本身不認識的人握了一次手。而後，男主人問其他全部人（共2N-1我的）各自都握了幾回手，獲得的答案所有都不同。假設每一個人都認識本身的配偶，那麼女主人握了幾回手？

答案：握手次數只多是從0到2N-2這2N-1個數。除去男主人外，一共有2N-1我的，所以每一個數剛好出現了一次。其中有一我的(0)沒有握手，有一我的(2N-2)和全部其它的夫婦都握了手。這兩我的確定是一對夫妻，不然後者將和前者握手（從而前者的握手次數再也不是0）。除去這對夫妻外，有一我的(1)只與(2N-2)握過手，有一我的(2N-3)和除了(0)之外的其它夫婦都握了手。這兩我的確定是一對夫妻，不然後者將和前者握手（從而前者的握手次數再也不是1）。以此類推，直到握過N-2次手的人和握過N次手的人配成一對。此時，除了男主人及其配偶之外，其他全部人都已經配對。根據排除法，最後剩下來的那個握手次數爲N-1的人就是女主人了。