【數字圖像處理】直方圖均衡化

直方圖

像這樣形狀的數據統計圖就叫作直方圖。

不嚴謹的來講，簇狀柱狀圖也能夠當作直方圖，咱們以後不進行區別。

灰度直方圖

橫軸爲灰度值，縱軸爲灰度值在圖中的頻數。
e.g. 以下圖

設灰度級爲2，最大灰度值爲1
n(0)=13
n(1)=7

歸一化

即令縱軸爲頻率，橫軸上將最大灰度值映射到1.

均衡化

目的：讓各個灰度值的頻率大體相同（除了0），也就是所謂的分佈均勻。


這個過程，咱們須要求出變換後各個灰度值所對應的新頻數。
方法：把灰度相近的值放到一塊兒，讓矮的「長條」變高。

雖然有一些灰度值被咱們丟棄了，可是留下的灰度值看起來更平坦了。須要注意的是，咱們的轉移不該該改變灰度的順序，原來的灰度值爲0的「長條」不能夠越過灰度值爲1的長條到灰度值爲2的上面去。

理想狀況：咱們能把直方圖徹底平坦化，也就是變換後的各灰度值頻率徹底一致。

歸一化後，根據\(\int^1_0p(r)=1\)可得\(p(r)=1\)。
設變換前的灰度r轉移到灰度爲s的「長條」上了。

咱們設這個變換爲\(s=T(r)\)，顯然，只要找到這個變換的具體表達式，咱們就能實現均衡化了。
\(0≤r,s≤1\)
分佈函數：\(F_s(s)=∫_{-∞}^sp_s(s)ds\)
咱們認爲理想狀況下，分佈函數在改變先後不變：\(F_r(r) =∫_{-∞}^rp_r (r)dr=∫_{-∞}^sp_s(s)ds\)
兩邊對s求導得：\(p_s(s)=\frac{d[\int^r_{-\infty}p_r(r)dr]}{dr}\cdot\frac{dr}{ds}=p_r\frac{dr}{ds}\)
假設：\(r=T^{-1}(s) p_s(s)=p_r\frac{d}{ds}\big(T^{-1}(s)\big)\)
將\(p_s(s)=1\)代入得：\(ds=p_rdr\)
兩邊積分：\(s=\int_0^rp_rdr=T(r)=\sum_0^rp_i\)
這樣咱們就求出了\(T(r)\)。

例子

64*64的圖片，灰度級爲8。

	r0	r1	r2	r3	r4	r5	r6	r7
n	790	1023	850	656	329	245	122	81
p	0.19	0.25	0.21	0.16	0.08	0.06	0.03	0.02

求出ri變換後對應的歸一化灰度值（用上面求出的\(s=\int_0^rp_rdr=T(r)=\sum_0^rp_i\)）。

s

0.19

0.44

0.65

0.81

0.89

0.95

0.98

1.00

歸一化的逆過程，求出實際的灰度值。

Ts

1.33

3.08

4.55

5.67

6.23

6.65

6.86

7.00

四捨五入求整⌊7s+0.5⌋。

si

1

3

5

6

6

7

7

7

把灰度值相同的頻數與頻率各自相加。

	790	1023	850	985		448
	0.19	0.25	0.21	0.24		0.11
si	s0	s1	s2	s3	s4	s5	s6	s7
n	0	790	0	1023	0	850	985	448
p	0	0.19	0	0.25	0	0.21	0.24	0.11

能夠看出來，雖然不是徹底理想，可是比變換前，直方圖更平坦了。