線性代數筆記27——傅立葉級數

線性代數筆記27——傅立葉級數

　　法國數學家傅里葉發現，任何周期函數均可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示（選擇正弦函數與餘弦函數做爲基函數是由於它們是正交的），後世稱傅里葉級數爲一種特殊的三角級數。

構建傅立葉級數的基礎

　　若是有一組n維空間的標準正交基向量q₁,q₂,…,q_n，則n維空間內的任意向量v均可以用這組基的線性組合表示：

　　正交基向量：q₁,q₂,…,q_n中的向量兩兩垂直（更多內容參考 線性代19——格拉姆-施密特正交化）。

　　對於標準正交向量來講，當i≠j時，q_i^Tq_j=0，當i=j時，q_i^Tq_j=1，能夠根據這一特性在等式兩側同時乘以q_i^T，從而獲得每一個份量的係數x_i的表達式：

　　也能夠用矩陣相乘的方式表示v：

　　因爲Q的列是標準正交的，因此Q的逆等於Q的轉置：

　　上述內容的關鍵是Q中的向量是標準正交的，標準正交也是在構建傅里葉級數的基礎。

傅立葉級數

　　對於任意一個周期函數f(x)，均可以使用傅里葉級數展開：

　　與以前有限個標準正交向量線性組合成的矩陣不一樣，這個維度是無限的，但關鍵的性質仍是正交，正交性對sinx和cosx仍然成立，這使得傅里葉級數有意義，它的一組基是1, cosx, sinx, cos2x, sin2x…

函數的正交性

　　咱們知道兩個向量正交的含義，而且能夠用點積等於0判斷兩個向量的正交性，這種判斷方式也能夠應用到函數上，可是函數的點積是什麼？

　　v和w是Rⁿ空間內的兩個正交向量，這意味着兩者的點積爲0：

　　與向量的點積展開式不一樣，函數是連續的，假設有兩個函數f(x)和g(x)，f(x)的週期是2π，咱們但願儘量用f^Tg的方式表示連續的累加，使得函數點積與向量點積的概念一致。積分正是函數連續累加的概念：

　　由此能夠驗證sinx和cosx是正交的：

　　用相同的方式也能夠驗證cosx和cos2x, sin2x…是正交的。

　　採用和標準正交向量相同的方式求得傅里葉級數的a₁係數：

　　同理能夠求得其它係數。

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　　做者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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