淺析Dijkstra單源最短路徑算法

 

單源最短路徑問題

給定 加權有向圖G=(V,E,W)，每條邊的權值w爲 非負數，表示兩個頂點間的距離。
源點s∈V。
求：從s出發到其餘各個頂點的最短路徑。
 

如上圖所示，以1爲源點，計算到其他各個頂點的最短距離（我已用紅線標出）。下面列出了最終解：

源點：1
1->6->2 : short[2] = 5
1->6->2->3 : short[3] = 12
1->6->4 : short[4] = 9
1->6->5 : short[5] = 4
1->6v : short[6] = 3

Dijkstra算法相關概念

S集合：當從s到x（x ∈V ）的最短路徑找到時，則x ∈S。當全部頂點都進入S集合時，算法結束。

初始：S=｛s｝，當S=V時算法結束。

從s到u相對於S的最短路徑：指從s到u且僅通過S中頂點的最短路徑。

dist[u]:從s到u相對於S的最短路徑長度

short[u]:從s到u最短路徑的長度（算法最終解）

dist[u] ≥ short[u]

Dijkstra算法採用貪心算法模式，算法過程就是經過計算dist[u],不斷擴充S集合，同時dist[u]會不斷優化改善，直到dist[u] = short[u]，並將其放到S中，當全部頂點都放入S集合時，算法結束。

算法設計思想

輸入：加權有向圖G=(V,E,W)
          V={1,2,…,n}, s=1

輸出：從s到每一個頂點的最短路徑

1. 初始S=｛1｝
2. 對於u ∈V-S,計算1到u的相對於S的最短路，長度爲dist[u]
3. 選擇V-S中dist值最小的那個頂點，加入S。
4. 繼續上述過程，直到S=V爲止。

實例

輸入：G=(V,E,W)，源點1

          V={1,2,3,4,5,6}
 

初始S集合只有1，計算直接從1能到達的頂點的距離，其餘不能從1號頂點直接到達的頂點都記爲無窮大。此時從dist[u]裏找出最短距離的頂點（6號），並將其放進S集合。

  S={1}
  dist[1] = 0
  dist[2] = 10
  dist[6 ] = 3
  dist[3] = ∞
  dist[4] = ∞
  dist[5] = ∞

當把6號頂點放進S集合後，經由6號頂點出發到達的頂點的最短距離可能會被優化更新，由於該算法的思想很「貪心」，誰更短我要誰！好比1->6->2要比1->2距離更短，因此dist[2]被更新爲5，從專業術語上講，這個「更新」過程叫作鬆弛，其餘點同理。而後從dist[u]裏找出最短的路徑的那個頂點（5號），並放進S集合裏。

  S={1,6}
  dist[1] = 0
  dist[6] = 3
  dist[2] = 5
  dist[4] = 9
  dist[5] = 4
  dist[3] = ∞

後面的操做步驟其實就是重複上面的操做。即當S集合裏有個新的頂點後，就可能會更新其餘點的最短距離，更新一遍後，找出當前最短距離的dist[u]，並將該頂點放進S集合。後面不重複闡述。

  S={1,6,5}
  dist[1] = 0
  dist[6] = 3
  dist[5] = 4
  dist[2] = 5
  dist[4] = 9
  dist[3] = ∞

  S={1,6,5,2}
  dist[1] = 0
  dist[6] = 3
  dist[5] = 4
  dist[2] = 5
  dist[4] = 9
  dist[3] = 12

  S={1,6,5,2,4}
  dist[1] = 0
  dist[6] = 3
  dist[5] = 4
  dist[2] = 5
  dist[4] = 9
  dist[3] = 12

  S={1,6,5,2,4,3}  dist[1] = 0  dist[6] = 3  dist[5] = 4  dist[2] = 5  dist[4] = 9  dist[3] = 12當有向圖中的全部頂點都進入了S集合後，算法結束，此時的dist[u]的值其實就是最初咱們找出的那個最終解short[u]，因此，算法結束時，dist[u]=short[u],獲得最終解。