Johnson算法:多源最短路算法

Johnson算法

請不要輕易點擊標題

一個能夠在有負邊的圖上使用的多源最短路算法

時間複雜度$O(n \cdot m \cdot log \ m+n \cdot m)$

空間複雜度$O(n+m)$

這個神奇的算法綜合利用了Dijkstra算法和Bellman-Ford算法(不要慌,雖然有負邊但Dijkstra能夠跑!)

在開始講解以前，咱們將其與floyd進行比較

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$floyd:$

​ 時間複雜度$O(n^3)$

​ 空間複雜度$O(n^2)$

​ 能夠看出，$floyd$複雜度與$m$無關 , 可見$floyd$適用於稠密圖的最短路，而$Johnson$算法則是適用於稀疏圖最短路

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$$\ $$

$$\ $$

$$ \ $$

$$ \ $$

我對該算法的理解

$Johnson$算法

限制條件:沒有負環便可

在有負權邊的圖上，$Dijkstra$的轉移受到限制，咱們須要進行必定處理

核心 : 將邊權$reweight$，保證邊權非負後，便可跑$n$遍$Dijkstra$,複雜度穩定$n \cdot m \cdot log \ m$(相較於SPFA來講穩定不少)

$$\ $$

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Reweight過程

​ 1.創建超級源點0號節點，向$1 - n$號節點創建邊權爲0的有向邊

​ 2.利用Bellman-Ford(或SPFA)求得$dis[0][1..n]$

​ 3.將邊$(u,v,w)$加上$dis[0][u]-dis[0][v]$

​ 4.將Dijkstra獲得的路徑$dis[u][v]$加上$dis[0][v]-dis[0][u]$還原

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$$\ $$

關於Reweight的正確性

----$Step 3.$根據三角不等式$dis[v]<=dis[u]+w$,移項獲得$w+dis[u]-dis[v] \ge 0$,故Reweight後邊權非負

----$Step4.$對於一條最短路$\lbrace p_1,p_2,..,p_k\rbrace$,Reweight後更改的權值即$dis[p1]-dis[p2]+dis[p2]-dis[p3]...-dis[p_k]$

​ 即$dis[0][v]-dis[0][u]$

----更改後 路徑保留的完整性 : 因爲對於任意一條路徑$dis[u][v]$,它更改的值都是一個常量$dis[0][v]-dis[0][u]$，不管路徑如何變動，都不影響這個常量的存在，因此原來的最短路依然保留

(固然個人證實含糊如放屁)

因此咱們能夠直接用這個算法解決一些特殊的問題