LeetCode 上一行代碼就能解決的智力算法題

第一道：除數博弈

題目來源於 LeetCode 上第 1025 號問題：除數博弈。

題目解析

對於這種博弈類的題目，若是沒有思路的話咱們不妨多舉幾個例子，嘗試着從中找尋規律。

• 假設 N = 1，愛麗絲沒得選擇，直接失敗，即 鮑勃獲勝；
• 假設 N = 2，愛麗絲有選擇，她能夠選擇 x = 1，鮑勃面對的就是 N = 2 - 1 = 1，沒法操做，愛麗絲獲勝；
• 假設 N = 3，愛麗絲只能選擇 x = 1，由於選 x = 2 不知足 3 % 2 = 0，鮑勃面對的就是 N = 3 - 1 = 2，參考上面 N = 2 的情形，此時鮑勃爲 N = 2 的先手，鮑勃獲勝；
• 假設 N = 4，愛麗絲能夠選擇 x = 1 來使鮑勃遇到 N = 3 的狀況，愛麗絲獲勝；

貌似有個規律：N 爲奇數時， 鮑勃獲勝；N 爲偶數時， 愛麗絲獲勝。

是這樣嗎？

是的。

事實上，不管 N 爲多大，最終都是在 N = 2 這個臨界點結束的。誰最後面對的是 N = 2 的情形，誰就能獲勝（這句話不太理解的話，仔細看看 N = 二、N = 3 這兩種情形）。

接下來，咱們得知道一個數學小知識：奇數的因子（約數）只能是奇數，偶數的因子（約數）能夠是奇數或偶數。

千萬不要忽略 1 也是因子！

愛麗絲是遊戲開始時的先手。

• 當她面對的 N 爲偶數時，她 必定能夠 選到一個 N 的奇數因子 x（好比 1 ），將 N - x 這個奇數傳給鮑勃；用 N - x 替換黑板上的數字 N ，鮑勃面對的就是奇數 N，只能選擇 N 的奇數因子 x，奇數 - 奇數 = 偶數，此時傳給愛麗絲的又是偶數。這樣輪換下去愛麗絲會遇到 N = 2 的情形，而後獲勝；
• 當愛麗絲遇到的 N 是奇數時，只能傳給鮑勃偶數或沒法操做 (N = 1) ，沒法獲勝。

代碼實現

//@五分鐘學算法
class Solution {
    public boolean divisorGame(int N) {
        return N % 2 == 0;
    }
}複製代碼

第二道：燈泡開關

題目來源於 LeetCode 上第 319 號問題：燈泡開關。

題目分析

首先，由於電燈一開始都是關閉的，因此某一盞燈最後若是是點亮的，必然要被按奇數次開關。

咱們假設只有 6 盞燈，並且咱們只看第 6 盞燈。須要進行 6 輪操做對吧，請問對於第 6 盞燈，會被按下幾回開關呢？這不可貴出，第 1 輪會被按，第 2 輪，第 3 輪，第 6 輪都會被按。

爲何第 一、二、三、6 輪會被按呢？由於 6 = 1×6 = 2×3。通常狀況下，因子都是成對出現的，也就是說開關被按的次數通常是偶數次。可是有特殊狀況，好比說總共有 16 盞燈，那麼第 16 盞燈會被按幾回?

16 = 1 × 16 = 2 × 8 = 4 × 4 複製代碼

其中因子 4 重複出現，因此第 16 盞燈會被按 5 次，奇數次。如今你應該理解這個問題爲何和平方根有關了吧？

不過，咱們不是要算最後有幾盞燈亮着嗎，這樣直接平方根一下是啥意思呢？稍微思考一下就能理解了。

就假設如今總共有 16 盞燈，咱們求 16 的平方根，等於 4，這就說明最後會有 4 盞燈亮着，它們分別是第 1 × 1 = 1 盞、第 2 × 2=4 盞、第 3 × 3 = 9 盞和第 4 × 4 = 16盞。

咱們不是想求有多少個可開方的數嗎，4 是最大的平方根，那麼小於 4 的正整數的平方都是在 1~16 內的，是會被按奇數次開關，最終亮着的燈。

就算有的 n 平方根結果是小數，強轉成 int 型，也至關於一個最大整數上界，比這個上界小的全部整數，平方後的索引都是最後亮着的燈的索引。因此說咱們直接把平方根轉成整數，就是這個問題的答案。

代碼實現

class Solution {
    public int bulbSwitch(int n) {
         return (int)Math.sqrt(n);
    }
}複製代碼

第三道：3的冪

題目來源於 LeetCode 上第 326 號問題：3的冪。

題目解析

正常的思路是不停地去除以 3，看最後的迭代商是否爲 1。這種思路的代碼使用到了循環，逼格不夠高。

這裏取巧的方法 用到了數論的知識：3 的冪次的質因子只有 3。

題目要求輸入的是 int 類型，正數範圍是 0 - 2³¹，在此範圍中容許的最大的 3 的次方數爲 3¹⁹ = 1162261467 ，那麼只要看這個數可否被 n 整除便可。

代碼實現

//@五分鐘學算法
class Solution {
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
         return n > 0 && 1162261467 % n == 0;
    }
}複製代碼

第四道：2的冪

題目來源於 LeetCode 上第 231 號問題：2的冪。

題目解析

若是一個數是 2 的次方數的話，那麼它的二進數必然是最高位爲 1，其它都爲 0 ，那麼若是此時咱們減 1 的話，則最高位會降一位，其他爲 0 的位如今都爲變爲 1，那麼咱們把兩數相與，就會獲得 0。

代碼實現

//@五分鐘學算法
class Solution {
public:
    bool isPowerOfTwo(int n) {
          return n > 0 && ((n & (n - 1)) == 0);
    } 
};複製代碼

第五道：階乘後的零

題目來源於 LeetCode 上第 172 號問題：階乘後的零。

題目解析

題目很好理解，數階乘後的數字末尾有多少個零。

最簡單粗暴的方法就是先乘完再說，而後一個一個數。

事實上，你在使用暴力破解法的過程當中就能發現規律： 這 9 個數字中只有 2（它的倍數） 與 5 （它的倍數）相乘纔有 0 出現。

因此，如今問題就變成了這個階乘數中能配 多少對 2 與 5。

舉個複雜點的例子：

10！ = 【 2 *（ 2 * 2 ）* 5 *（ 2 * 3 ）*（ 2 * 2 * 2 ）*（ 2 * 5）】

在 10！這個階乘數中能夠匹配兩對 2 * 5 ，因此10！末尾有 2 個 0。

能夠發現，一個數字進行拆分後 2 的個數確定是大於 5 的個數的，因此能匹配多少對取決於 5 的個數。（比如如今男女比例懸殊，最多能有多少對異性情侶取決於女生的多少）。

那麼問題又變成了 統計階乘數裏有多少個 5 這個因子。

須要注意的是，像 25，125 這樣的不僅含有一個 5 的數字的狀況須要考慮進去。

好比 n = 15。那麼在 15! 中 有 3 個 5 (來自其中的5, 10, 15)， 因此計算 n/5 就能夠 。

可是好比 n=25，依舊計算 n/5 ，能夠獲得 5 個5，分別來自其中的5, 10, 15, 20, 25，可是在 25 中實際上是包含 2 個 5 的，這一點須要注意。

因此除了計算 n/5 ， 還要計算 n/5/5 , n/5/5/5 , n/5/5/5/5 , ..., n/5/5/5,,,/5直到商爲0，而後求和便可。

代碼實現

//@五分鐘學算法
public class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        return n == 0 ? 0 : n / 5 + trailingZeroes(n / 5);
    }
}複製代碼

第六道：Nim 遊戲

題目來源於 LeetCode 上第 292 號問題：Nim 遊戲。

題目解析

咱們解決這種問題的思路通常都是反着思考：

若是我能贏，那麼最後輪到我取石子的時候必需要剩下 1~3 顆石子，這樣我才能一把拿完。

如何營造這樣的一個局面呢？顯然，若是對手拿的時候只剩 4 顆石子，那麼不管他怎麼拿，總會剩下 1~3 顆石子，我就能贏。

如何逼迫對手面對 4 顆石子呢？要想辦法，讓我選擇的時候還有 5~7 顆石子，這樣的話我就有把握讓對方不得不面對 4 顆石子。

如何營造 5~7 顆石子的局面呢？讓對手面對 8 顆石子，不管他怎麼拿，都會給我剩下 5~7 顆，我就能贏。

這樣一直循環下去，咱們發現只要踩到 4 的倍數，就落入了圈套，永遠逃不出 4 的倍數，並且必定會輸。

代碼實現

public class Solution {
   bool canWinNim(int n) {
    // 若是上來就踩到 4 的倍數，那就認輸吧
    // 不然，能夠把對方控制在 4 的倍數，必勝
    return n % 4 != 0;
    }
}複製代碼

第七道：石子游戲

題目來源於 LeetCode 上第 877 號問題：石子游戲。

題目解析

顯然，亞歷克斯老是贏得 2 堆時的遊戲。 經過一些努力，咱們能夠獲知她老是贏得 4 堆時的遊戲。

若是亞歷克斯最初得到第一堆，她老是能夠拿第三堆。 若是她最初取到第四堆，她老是能夠取第二堆。第一 + 第三，第二 + 第四 中的至少一組是更大的，因此她總能獲勝。

咱們能夠將這個想法擴展到 N 堆的狀況下。設第1、第3、第5、第七樁是白色的，第2、第4、第6、第八樁是黑色的。 亞歷克斯老是能夠拿到全部白色樁或全部黑色樁，其中一種顏色具備的石頭數量一定大於另外一種顏色的。

所以，亞歷克斯總能贏得比賽。

代碼實現

class Solution {
    public boolean stoneGame(int[] piles) {
        return true;
    }
}複製代碼