二分圖

所謂的二分圖，就是指圖中的全部頂點能夠分爲兩個集合A和B，而且圖中的每條邊的兩個頂點都是一個在A，一個在B，則該圖是一個二分圖。

下面咱們來解釋幾個關於二分圖的一些相關概念。

（1）最大匹配

在G的一個子圖M中，M的邊集中的任意兩條邊都不依附於同一個頂點，則稱M是一個匹配。選擇這樣的邊數最大的子集稱爲圖的最大匹配問題,最大匹配的邊數稱爲最大匹配數.若是一個匹配中，圖中的每一個頂點都和圖中某條邊相關聯，則稱此匹配爲徹底匹配，也稱做完備匹配。

（2）最優匹配

最優匹配又稱爲帶權最大匹配，是指在帶有權值邊的二分圖中，求一個匹配使得匹配邊上的權值和最大。通常A和B集合頂點個數相同，最優匹配也是一個完備匹配，即每一個頂點都被匹配。若是個數不相等，能夠經過補點加0邊實現轉化。通常使用KM算法解決該問題。

（3）最小覆蓋

二分圖的最小覆蓋分爲最小頂點覆蓋和最小路徑覆蓋：

①最小頂點覆蓋是指最少的頂點數使得二分圖G中的每條邊都至少與其中一個點相關聯，二分圖的最小頂點覆蓋數=二分圖的最大匹配數；

②最小路徑覆蓋也稱爲最小邊覆蓋，是指用盡可能少的不相交簡單路徑覆蓋二分圖中的全部頂點。二分圖的最小路徑覆蓋數=|V|-二分圖的最大匹配數；

（4）最大獨立集

 最大獨立集是指尋找一個點集，使得其中任意兩點在圖中無對應邊。對於通常圖來講，最大獨立集是一個NP徹底問題，對於二分圖來講最大獨立集=|V|-二分圖的最大匹配數。以下圖中黑色點即爲一個最大獨立集：

咱們能夠看到二分圖的一些性質。

（1）二分圖中的全部迴路的邊數都是偶數。

（2）二分圖的獨立數等於頂點數減去最大匹配數

（3）DAG的最小路徑覆蓋，將每一個點拆點後做最大匹配，結果爲n-m，求具體路徑的時候順着匹配邊走就能夠，匹配邊i→j',j→k',k→l'....構成一條有向路徑。

（4）最大匹配數=左邊匹配點+右邊未匹配點。由於在最大匹配集中的任意一條邊，若是他的左邊沒標記，右邊被標記了，那麼咱們就可找到一條新的增廣路，因此每一條邊都至少被一個點覆蓋。

（5）最小邊覆蓋=圖中點的個數-最大匹配數=最大獨立集。

關於二分圖求最大匹配（匈牙利算法）詳見https://blog.csdn.net/thundermrbird/article/details/52231639