趣味編程：三門問題

三門問題，也稱爲蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem）。

你在參加一個節目，面前是三扇關閉着的門。其中一扇後面是小汽車，選中它就可贏得汽車，另外兩扇後面各是一隻羊。你選擇了其中一扇，但沒有打開它，這時主持人打開了剩下兩扇門中的一扇，後面是一隻山羊（這裏有個隱含前提：主持人是知道門後的狀況的）。主持人問你，要不要換另外一扇仍然關閉着的門，仍是就要你剛纔選中的那扇。

那麼問題就是，換另外一扇門會增長你贏得汽車的機率麼？換與不換的機率各是多少呢？

由於只剩下了兩扇門，其中有一車和一羊，所以答案是換不換機率都是1/2，對麼？

也有人堅信不換的機率是1/3，那麼換的機率就應該是2/3？不管哪一種回答，必定都會有本身的解釋和邏輯。

 

什麼是機率？無非就是某種事件發生的可能性。

如何驗證機率？只有用大量的實驗來統計各類事件發生的分佈狀況。

放到現實中，想看到這個問題的答案，只能由主持人和觀衆不斷的重複進行遊戲。

看看好比說各自100次遊戲，不換門會選中多少次，換門又會選中多少次。

 

這就體現出了代碼的優點，無需舞臺無需觀衆無需主持人，也無需一遍又一遍的重複。

讓咱們直接拋開語義和邏輯上的爭論，讓事實來講話。

 

徹底忠實於遊戲的規則來實現：

 1 import random
 2 import logging
 3 
 4 class MontyHall(object):
 5     def __init__(self, num=3):
 6         '''
 7         建立一個door列表
 8         0表示門關閉的狀態
 9         1表示該門後有車
10         -1表示該門被主持人打開
11         '''
12         self.doors = [0] * num
13         self.doors[0] = 1
14         self.choice = -1
15         self.shuffle()
16 
17     def shuffle(self):
18         '''
19         開始新的遊戲
20         關閉全部打開的門（-1）
21         從新安排轎車的位置
22         '''
23         for i in range(len(self.doors)):
24             if self.doors[i] == -1:
25                 self.doors[i] = 0
26         random.shuffle(self.doors)
27 
28     def makeChoice(self):
29         '''
30         player隨機選擇一扇門
31         '''
32         self.choice = random.randint(0, len(self.doors)-1)
33         logging.info('choice: %d' % self.choice)
34         logging.info('original: %s' % self.doors)
35 
36     def excludeChoice(self):
37         '''
38         主持人排除選擇
39         直到只剩兩扇門
40         '''
41         toBeExcluded = []
42         for i in range(len(self.doors)):
43             if self.doors[i] == 0 and i != self.choice:
44                 toBeExcluded.append(i)
45 
46         random.shuffle(toBeExcluded)
47         for i in range(len(self.doors)-2):
48             self.doors[toBeExcluded[i]] = -1
49         logging.info('final: %s' % self.doors)
50 
51     def changeChoice(self):
52         '''
53         player改變選擇
54         '''
55         toChange = []
56         for i in range(len(self.doors)):
57             if i != self.choice and self.doors[i] != -1:
58                 toChange.append(i)
59         self.choice = random.choice(toChange)                
60         logging.info('choice changed: %d' % self.choice)
61 
62     def showAnswer(self):
63         logging.info(self.doors)
64 
65     def checkResult(self):
66         gotIt = False
67         if self.doors[self.choice] == 1:
68             gotIt = True
69         return gotIt

 

不改變選擇：

 1 def test(n):
 2     result = {}
 3     game = MontyHall()
 4 
 5     for i in range(n):
 6         game.shuffle()
 7         game.makeChoice()
 8         game.excludeChoice()
 9 
10         if game.checkResult():
11             result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
12         else:
13             result['no'] = result.get('no', 0) + 1
14 
15     for key in result:
16         print('%s: %d' % (key, result[key]))
17     
18 
19 
20 if __name__ == '__main__':
21     logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
22     test(10000)

View Code

yes: 3304
no: 6696

 

改變選擇：

 1 def test(n):
 2     result = {}
 3     game = MontyHall(3)
 4 
 5     for i in range(n):
 6         game.shuffle()
 7         game.makeChoice()
 8         game.excludeChoice()
 9         # 改變選擇
10         game.changeChoice()
11 
12         if game.checkResult():
13             result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
14         else:
15             result['no'] = result.get('no', 0) + 1
16 
17     for key in result:
18         print('%s: %d' % (key, result[key]))
19     
20 
21 
22 if __name__ == '__main__':
23     logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
24     test(10000)

View Code

yes: 6691
no: 3309

 

可見，若是不改變，選中的機率是1/3。若是改變，選中機率爲2/3。因此說，最佳策略是換門。

 

從邏輯上如何解釋呢？

若是你每次都換，只有當你第一次選的那扇門後是汽車時，你纔會輸。

由於第一次選中汽車的機率是1/3，因此換門後輸的機率是1/3。

也就是說，若是你每次都換，贏的機率就有2/3。

 

還不信麼？

那咱們換成50扇門再作這個遊戲。你選一扇門，我把其餘是羊的48扇門打開給你，最後依然剩下兩扇門，你還會以爲換和不換的機率同樣是1/2麼？

依然以爲在50扇門中任選一個，最後中將的機率是1/2？

 

 

原理是同樣的，只有你第一次就選中汽車時（1/50機率），換門纔會失去大獎。其餘的狀況，換門都會讓你贏得大獎，機率爲49/50。

再次用代碼來驗證：

 1 def test(n):
 2     result = {}
 3     game = MontyHall(50)
 4 
 5     for i in range(n):
 6         game.shuffle()
 7         game.makeChoice()
 8         game.excludeChoice()
 9         game.changeChoice()
10 
11         if game.checkResult():
12             result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1
13         else:
14             result['no'] = result.get('no', 0) + 1
15 
16     for key in result:
17         print('%s: %d' % (key, result[key]))
18     
19 
20 
21 if __name__ == '__main__':
22     logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING)
23     test(10000)

View Code

yes: 9794
no: 206

 

依然不相信？

邏輯分析和事實數據都不能讓你相信？仍是認爲最後的機率都是1/2？

那我只好遺憾的表示，三門問題的答案是肯定的，不存在任何爭議。

本身去科普一下吧，不要困在本身的侷限的認知裏。

 

附上一個科普節目，讓大名鼎鼎的流言終結者（S09E21）來掃盲吧。

 

若是邏輯分析+實驗事實+科普節目都沒法讓你放棄1/2的結論，那我真無能爲力了：）