1 金融衍生品引論

文章目錄

• 1.1現金和銀行存款的時間價值
• 1.2均值、標準差及波動率
• 1.3常見股票衍生產品
• 1.3.3 遠期

1.1現金和銀行存款的時間價值

• 銀行存1元，未來的任意時刻，賬戶裏除1，還得到利息。
• 如果年利率是 $r$r，且每年計息一次，一年後得到

$（1+r）$（1+r）

• 半年計息一次。半年後存款爲
  $（1+\frac{r}{2}）$（1+2r​）
  並且作爲下次計息的本金，再過半年銀行的存款將會是
  $(1+\frac{r}{2})^{2}$(1+2r​)2

• 每個月計息一次，那年末存款
  $(1+\frac{r}{12})^{12}$(1+12r​)12

• 當計息頻率無窮大時，收益是
  $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{r}{n})^{n}=e^{r}，e=2.718\cdots$n→∞lim​(1+nr​)n=er，e=2.718⋯

• 稱連續複利計息

 

• 利率爲常數 $r$r時，且連續複利計息時，0時刻開始，到 $t$t時刻銀行存款價值爲
  $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{r}{n})^{nt}=e^{rt}$n→∞lim​(1+nr​)nt=ert
• $t$t時刻的1美元，在0時刻是 $e^{-rt}$e−rt元。

 

• 如果 $r$r隨時間變化，就有隨時間變化的利率函數 $r(s)$r(s)，稱短期利率
• 連續複利計息情況下。
• 存款變爲
  $e^{(\int_0^t r(s)ds)}$e(∫0t​r(s)ds)
• $t$t時刻的1，0時刻就是
  $e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$e(−∫0t​r(s)ds)

 

• 銀行賬戶時討論金融問題的一個基本的參照點，因爲這種資產可以帶來沒有任何風險的收益。
• 當一種投資帶來的收益要小於銀行存款利率並且還帶有虧損的話，那麼決策從金融角度講將是愚蠢的。

 

• 除銀行賬戶外還有另一個基本的參照點，

  • 那就是無息債券。

• 無息債券是有固定收益的債券，

  • 本金只在最終的到期日付給投資人，中間沒利息。

• 這裏考慮無風險的債券，美國的發行的國債在市場上認爲沒有風險。

  • 由於這種債券沒有利息，初始價格自然要少於本金，
  • 但初始價格到底是多少取決於從現在至到期日的利率。

• $T$T時刻到期的本金爲1的無息債券在 $t$t時刻的價值記爲
  $B(t,T) 或者 B_{t}(T)$B(t,T)或者Bt​(T)

• 當利率非隨機的並等於常數 $r$r時，那麼初始價格是
  $B(0,t)=e^{-rt}$B(0,t)=e−rt

• 當利率是非隨機,一個時間函數 $r(s)$r(s)，那麼初始價格只能是
  $B(0,t)=e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$B(0,t)=e(−∫0t​r(s)ds)

• 如果短期利率是隨機的，那麼 $B(0,t)=e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$B(0,t)=e(−∫0t​r(s)ds)也是隨機的，而不是一個確定的東西。然而，市場上是時時刻刻交易着無息債券的（也可以從有息債券中組合得到），故而無息債券應該是短期利率的某種概率下的期望，我們寫成
  $B(0,t)=E(e^{(-\int_0^t r(s)ds)})$B(0,t)=E(e(−∫0t​r(s)ds))

• 如果想要模擬某種短期利率下的未來行爲，那上式應該是一個約束。

• $B(0,t)$B(0,t)的值已經在市場上給出，那麼我們就可以根據上式將其轉化爲一種連續複利利率，如下
  $B(0,t)=E(e^{(-\int_0^t r(s)ds)})=e^{-r(0,t)t}$B(0,t)=E(e(−∫0t​r(s)ds))=e−r(0,t)t
  這樣，對一個時間 $t$t，就會有一個連續複利利率 $r(0,t)$r(0,t)。這個 $r(0,t)$r(0,t)在時刻0我們就可以知道的。但是短期利率 $r(t)$r(t)我們必須到時刻 $t$t纔可以知道，在現在看來，他只是一個隨機變量。

• 無息債券的初始價格與連續複利利息之間可以相互轉換，

  • 給出了無息債券的初始價格，也就是給出了連續複利利率。

 

• 圖1.2: 美國國券的在不同年度到期的利率。
• 一年,兩年,直至三十年的利率都不同
• 本書中,多數情況下,都假設利率不變。
• 一個原因是爲了簡單起見,
• 另外一個原因是本書主要討論的對象是股票衍生產品,
  • 而在股票衍生產品中,股價的變化是佔第一位的,
  • 利率的變化是佔第二位的,
  • 所以,我們可以忽略利率的變化而假定它們都相同。

 

 

• $B(0,t)=B_{0}{(t)}$B(0,t)=B0​(t)爲貼現因子
• $r(0,t)$r(0,t)貼現率
• 把未來的現金價值換算成現在的現金價值是一個很重要的原理。

$t_1,t_2,......t_n$t1​,t2​,......tn​

• 有現金流
  $c_1,c_2,......c_n$c1​,c2​,......cn​

• 且從0到 $t_i$ti​時刻的連續複利率爲
  $r_1,r_2,......r_n$r1​,r2​,......rn​

• 未來現金流的折現值就是
  $e^{-r_1t_1}c_1+e^{-r_2t_2}c_2+...+e^{-r_nt_n}c_n$e. . . + e − r n t n c n e^{-r_1t_1}c_1+e^{-r_2t_2}c_2+...+e^{-r_nt_n}c_n e−r1​t1​c1​+e−r2​t2​c2​+...+e−rn​tn​cn​

• 也把他稱爲現金流的折現值

 

• 退休養老金產品，
• 每年付現金 $c$c。
• 假定貼現利率爲 $r$r，
• 按照連續複利和計算貼現之後，所有未來現金流的淨現值成爲：
  $ce^{-r}+ce^{-2r}+...+ce^{-nr}+...=\frac{ce^{-r}}{1-e^{-r}}$ce−r+ce−2r+...+ce−nr+...