教你如何寫遞歸（數學概括法，乾貨強推！）

引言

對於不少程序員來講，寫遞歸程序是比較頭疼的一件事，即便是把程序看懂了，輪到本身寫的時候也是一臉懵逼，那麼到底寫遞歸有沒有方法論呢？固然！本文就將從數學概括法的角度教你如何寫遞歸程序。 
 

數學概括法與遞歸的關係

有人會疑惑，不是說好寫遞歸嘛，怎麼扯到數學概括法了？別急慢慢往下看你就知道了。 
  
首先咱們來溫習一下數學概括法的定義：

數學概括法：用於證實斷言對全部天然數成立。

證實過程：

• 證實對於N=1成立
• 證實N>1時：假設對於N-1成立，那麼對於N成立

  
咋一看你或許有點蒙，沒事，咱們來舉個例子你就差很少懂了。

  
怎麼樣，總結一下就是：先證實第一個天然數成立，而後假設對於n-1成立，在用這個假設去推導證實對於n也成立。

對於天然數的第一個數字到底是0仍是1，是一個學術界至今沒有統一的問題，咱們這裏使用1做爲天然數的第一個數。

  
接下來重點來了！！！咱們來看看如何用遞歸寫上面那個例子

 
  
是否是驚人的類似啊！原來遞歸的思路和數學概括法的證實思路是同樣的啊！ 
  
鋪墊了這麼多，終於引出咱們今天要講的遞歸書寫方法論。 
 

遞歸書寫方法

1. 先通常，後特殊（邊界）

先寫遞歸的主體部分，再回頭寫邊界（一行行讀主體部分的代碼，尋找特殊的邊界狀況）

2. 每次調用必須縮小問題規模

3. 每次問題規模縮小程度必須爲1（不要貪心）

這裏的1並非狹義的，比方說若是二分查找的時候，每次縮小一半的規模也是能夠的

  
上面四點很是重要，爲了幫助你們理解，接下來我舉幾個例子讓你們熱熱身。 
 

例1：建立鏈表

咱們想要建立一個五節點的單向鏈表（以下圖所示）：

 
  
該怎麼作呢？首先咱們先假設若是已經獲得了後四個節點的鏈表：

 
  
那麼此時咱們只須要將第一個節點的next指針指向（n-1）結果的頭節點便可

 
代碼以下：

 
 
 
  public ListNode createLinkedList(List<Integer> data) { 

 
  
  
  

 

  
  ListNode firstNode = 
 
  new Node(data.get( 
 
  0)); 

 
  
  
  

 
 
 
  // 將第一個節點的next指針指向n-1已經建立好鏈表的頭節點 

 
  
  
  

 

  
  firstNode.next = createLinkedList(data.subList( 
 
  1, data.size())); 

 
  
  
  

 
 
 
  return firstNode; 
 
  // 返回頭節點 

 
  
  
  

 

  
  } 

 

  
此時咱們先通常的步驟就完成了，看看是否是每次調用函數都縮小問題規模了，是否是問題規模每次都縮小1，都知足條件！接下來就是後特殊了，劃重點：一行行查看此時的代碼，想一想每一行代碼在什麼狀況下出異常，一旦發現這就是特殊狀況了！ 
  
例如：上面函數中的第一行，若是data爲空的話，是否是就報錯了，那麼此時就須要作特殊狀況處理：

 
 
 
  public ListNode createLinkedList(List<Integer> data) { 

 
  
  
  

 
 
 
  if (data.isEmpty()) 

 
  
  
  

 
 
 
  return 
 
  null; 

 
  
  
  

 

  
  ListNode firstNode = 
 
  new Node(data.get( 
 
  0)); 

 
  
  
  

 
 
 
  // 將第一個節點的next指針指向n-1已經建立好鏈表的頭節點 

 
  
  
  

 

  
  firstNode.next = createLinkedList(data.subList( 
 
  1, data.size())); 

 
  
  
  

 
 
 
  return firstNode; 
 
  // 返回頭節點 

 
  
  
  

 

  
  } 

 

  
那麼到此爲止，咱們就完成了建立鏈表的遞歸程序編寫。不過癮？那咱們再來一個！

 

例2：反轉鏈表

 
  
仍是老樣子，咱們先假設n-1個鏈表已經反轉完成了：

 
  
那麼此時咱們應該怎麼作呢？此時1這個元素的next指針仍是指向2的，由於後面的反轉並不會影響1元素的next指針：

 
  
因此此時咱們只須要將節點2的next設爲1，將節點1的next設爲null便可完成反轉！

 
代碼以下：

 
 
 
  public ListNode ReverseList(ListNode head) { 

 
  
  
  

 
 
 
  // 這裏獲得n-1反轉後鏈表的頭節點，也就是反轉前的最後一個節點 

 
  
  
  

 

  
  ListNode newHead = ReverseList(head.next); 

 
  
  
  

 
 
 
  // 將節點2的next設爲節點1 

 
  
  
  

 

  
  head.next.next = head; 

 
  
  
  

 
 
 
  // 將節點1的next設爲null 

 
  
  
  

 

  
  head.next = 
 
  null; 

 
  
  
  

 
 
 
  return newHead; 

 
  
  
  

 

  
  } 

 

  
那麼此時先通常就完成了，接下來就是尋找特殊（邊界）狀況了，一行行代碼看下來發現head和head.next爲null時會報異常，因而處理異常狀況： 
 

 
 
 
  public ListNode ReverseList(ListNode head) { 

 
  
  
  

 
 
 
  if(head == 
 
  null || head.next == 
 
  null) 

 
  
  
  

 
 
 
  return head; 

 
  
  
  

 

  
  ListNode newHead = ReverseList(head.next); 

 
  
  
  

 

  
  head.next.next = head; 

 
  
  
  

 

  
  head.next = 
 
  null; 

 
  
  
  

 
 
 
  return newHead; 

 
  
  
  

 

  
  } 

 

  
到此爲止，反轉鏈表函數就已經完成，是否是感受按照數學概括法的思路寫遞歸仍是蠻清晰的呢！

 

總結

數學概括法是遞歸的依據。

書寫遞歸的思路跟數學概括法的證實過程類似，不過須要注意的是，先書寫通常狀況，後根據通常狀況考慮特殊狀況；同時要牢記遞歸函數每次縮小規模程度必須爲「1」！

方法已經教給你了，接下去就是多練習了，趕忙找點題目練練手吧！