棋盤覆蓋問題

在一個 2^k * 2^k 個方格組成的棋盤中，若恰有一個方格與其它方格不一樣，則稱該方格爲一特殊方格，稱該棋盤爲一特殊棋盤。顯然特殊方格在棋盤上出現的位置有 4^k 種情形。於是對任何 k>=0 ，有 4^k 種不一樣的特殊棋盤。下圖所示的特殊棋盤爲 k=2 時 16 個特殊棋盤中的一個。

在棋盤覆蓋問題中，要用下圖中 4 中不一樣形態的 L 型骨牌覆蓋一個給定的特殊×××上除特殊方格之外的全部方格，且任何 2 個 L 型骨牌不得重疊覆蓋。易知，在任何一個 2^k * 2^k 的棋盤中，用到的 L 型骨牌個數恰爲 (4^k-1)/3 。

用分治策略，能夠設計解棋盤問題的一個簡捷的算法。
當 k>0 時，將 2^k * 2^k 棋盤分割爲 4 個 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盤，以下圖所示。

特殊方格必位於 4 個較小子棋盤之一中，其他 3 個子棋盤中無特殊方格。爲了將這 3 個無特殊方格的子棋盤轉化爲特殊棋盤，咱們能夠用一個 L 型骨牌覆蓋這 3 個較小的棋盤的匯合處，以下圖所示，這 3 個子棋盤上被 L 型骨牌覆蓋的方格就成爲該棋盤上的特殊方格，從而將原問題化爲 4 個較小規模的棋盤覆蓋問題。遞歸的使用 這種分割，直至棋盤簡化爲 1x1 棋盤。

// 棋盤覆蓋問題

#include<iostream>

using namespace std;

int Board[16][16];
int tile=0; 
int ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size){
	if(size == 1)
		return 0;
	int t=tile++,s=size/2;

	// 左上
	if(dr<tr+s && dc<tc+s)
		ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
	else{
		Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
		ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
	}

	// 右上
	if(dr>=tr+s && dc<tc+s)
		ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
	else{
		Board[tr+s][tc+s-1]=t;
		ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
	}

	// 左下
	if(dr<tr+s && dc>=tc+s)
		ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
	else{
		Board[tr+s-1][tc+s]=t;
		ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
	}

	// 右下
	if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)
		ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
	else{
		Board[tr+s][tc+s]=t;
		ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
	}
}

int main(){
	ChessBoard(0,0,3,2,16);
	for(int i=0;i<16;i++){
		for(int j=0;j<16;j++)
			cout<<Board[i][j]<<"\t";
		cout<<endl;
		cout<<endl;
	}
}