貪心算法

時間 2019-11-10

標籤貪心算法简体版

原文原文鏈接

貪心算法有不少經典的應用，好比霍夫曼編碼（Huffman Coding）、Prim 和 Kruskal 最小生成樹算法、還有 Dijkstra 單源最短路徑算法。最小生成樹算法和最短路徑算法咱們後面會講到，因此咱們今天講下霍夫曼編碼，看看它是如何利用貪心算法來實現對數據壓縮編碼，有效節省數據存儲空間的web

什麼是貪心算法？

關於貪心算法，咱們先看一個例子。算法

假設咱們有一個能夠容納 100kg 物品的揹包，能夠裝各類物品。咱們有如下 5 種豆子，每種豆子的總量和總價值都各不相同。爲了讓揹包中所裝物品的總價值最大，咱們如何選擇在揹包中裝哪些豆子？每種豆子又該裝多少呢？svg

實際上，這個問題很簡單，就是按照單價從大到小來裝就好了，對吧？編碼

以上本質上藉助的就是貪心算法。結合這個例子，我總結一下貪心算法解決問題的步驟，咱們一塊兒來看看。spa

第一步，當咱們看到這類問題的時候，首先要聯想到貪心算法：針對一組數據，咱們定義了限制值和指望值，但願從中選出幾個數據，在知足限制值的狀況下，指望值最大

類比到剛剛的例子，限制值就是重量不能超過 100kg，指望值就是物品的總價值。這組數據就是 5 種豆子。咱們從中選出一部分，知足重量不超過 100kg，而且總價值最大。code

第二步，咱們嘗試看下這個問題是否能夠用貪心算法解決：每次選擇當前狀況下，在對限制值同等貢獻量的狀況下，對指望值貢獻最大的數據。

類比到剛剛的例子，咱們每次都從剩下的豆子裏面，選擇單價最高的，也就是重量相同的狀況下，對價值貢獻最大的豆子。xml

第三步，咱們舉幾個例子看下貪心算法產生的結果是不是最優的。大部分狀況下，舉幾個例子驗證一下就能夠了。嚴格地證實貪心算法的正確性，是很是複雜的，須要涉及比較多的數學推理。

實際上，用貪心算法解決問題的思路，並不總能給出最優解。blog

我來舉一個例子。在一個有權圖中，咱們從頂點 S 開始，找一條到頂點 T 的最短路徑（路徑中邊的權值和最小）。貪心算法的解決思路是，每次都選擇一條跟當前頂點相連的權最小的邊，直到找到頂點 T。按照這種思路，咱們求出的最短路徑是 S->A->E->T，路徑長度是 1+4+4=9。

很明顯，這不是最短路徑，最短路徑是S->B->D->T，那麼這是爲何吶？排序

在這個問題上，貪心算法不工做的主要緣由是，前面的選擇，會影響後面的選擇。若是咱們第一步從頂點 S 走到頂點 A，那接下來面對的頂點和邊，跟第一步從頂點 S 走到頂點 B，是徹底不一樣的。因此，即使咱們第一步選擇最優的走法（邊最短），但有可能由於這一步選擇，致使後面每一步的選擇都很糟糕，最終也就無緣全局最優解了。token

貪心算法實戰分析

1. 分發糖果（Leetcode題目）

老師想給孩子們分發糖果，有 N 個孩子站成了一條直線，老師會根據每一個孩子的表現，預先給他們評分。

你須要按照如下要求，幫助老師給這些孩子分發糖果：

每一個孩子至少分配到 1 個糖果。
相鄰的孩子中，評分高的孩子必須得到更多的糖果。
那麼這樣下來，老師至少須要準備多少顆糖果呢？

示例 1:

輸入: [1,0,2]
輸出: 5
解釋: 你能夠分別給這三個孩子分發二、一、2 顆糖果。
示例 2:

輸入: [1,2,2]
輸出: 4
解釋: 你能夠分別給這三個孩子分發一、二、1 顆糖果。
第三個孩子只獲得 1 顆糖果，這已知足上述兩個條件。

貪心思想分析：指望是讓糖果數目最小，限制就是那兩個條件，若是下一個要大，那天然最好的選擇就是多給一個糖果最好，因此在這裏咱們先不考慮其餘的，就給他一個糖果就好．這樣遍歷過去主要是沒法處理1,2,3,3,2,1這類數據，那麼再逆着遍歷貪心就好了（這個比較難想到）

class Solution {
public:
    int candy(vector<int>& rat) {
        //貪心
        int len =  rat.size();
        vector<int> candy(len,1);
        candy[0]=1;
        for(int i=0 ;i< len-1 ;i++){
            if(rat[i+1] > rat[i] )
                candy[i+1] =candy[i]+1; 
        }
        //逆着貪心
        for(int i=len-1 ;i > 0;i--){
            if(rat[i-1] > rat[i] && candy[i-1] <=candy[i])
                candy[i-1] = candy[i]+1; 
        }
        int result = 0 ;
        for(auto i:candy)
            result+=i;
        return result;
    }
};

2. 2. 錢幣找零（有面值爲1的能夠"考慮"貪心，沒有就 DP ）

這個問題在咱們的平常生活中更加廣泛。假設咱們有 1 元、2 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元這些面額的紙幣，它們的張數分別是 c一、c二、c五、c十、c20、c50、c100。咱們如今要用這些錢來支付 K 元，最少要用多少張紙幣呢？

在生活中，咱們確定是先用面值最大的來支付，若是不夠，就繼續用更小一點面值的，以此類推，最後剩下的用 1 元來補齊。

在貢獻相同指望值（紙幣數目）的狀況下，咱們但願多貢獻點金額，這樣就可讓紙幣數更少，這就是一種貪心算法的解決思路。直覺告訴咱們，這種處理方法就是最好的。實際上，要嚴謹地證實這種貪心算法的正確性，須要比較複雜的、有技巧的數學推導，我不建議你花太多時間在上面，不過若是感興趣的話，能夠本身去研究下。

3. 3. 區間覆蓋

假設咱們有 n 個區間，區間的起始端點和結束端點分別是 [l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。咱們從這 n 個區間中選出一部分區間，這部分區間知足兩兩不相交（端點相交的狀況不算相交），最多能選出多少個區間呢（這是指望）？

這個問題的處理思路稍微不是那麼好懂，不過，我建議你最好能弄懂，由於這個處理思想在不少貪心算法問題中都有用到，好比任務調度、教師排課等等問題。 (這個應該和動態規劃放在一塊兒比較一下)

這個問題的解決思路是這樣的：咱們假設這 n 個區間中最左端點是 lmin，最右端點是 rmax。這個問題就至關於，咱們選擇幾個不相交的區間，從左到右將 [lmin, rmax] 覆蓋上。咱們按照起始端點從小到大的順序對這 n 個區間排序。

咱們每次選擇的時候，左端點跟前面的已經覆蓋的區間不重合的，右端點又儘可能小的，這樣可讓剩下的未覆蓋區間儘量的大，就能夠放置更多的區間。這實際上就是一種貪心的選擇方法。

leetcode題目：

給定一個區間的集合，找到須要移除區間的最小數量，使剩餘區間互不重疊。
注意:
能夠認爲區間的終點老是大於它的起點。
區間 [1,2] 和 [2,3] 的邊界相互「接觸」，但沒有相互重疊。
示例 1:

輸入: [ [1,2], [2,3], [3,4], [1,3] ]

輸出: 1

解釋: 移除 [1,3] 後，剩下的區間沒有重疊。
示例 2:

輸入: [ [1,2], [1,2], [1,2] ]

輸出: 2

解釋: 你須要移除兩個 [1,2] 來使剩下的區間沒有重疊。
示例 3:

輸入: [ [1,2], [2,3] ]

輸出: 0

解釋: 你不須要移除任何區間，由於它們已是無重疊的了。

class Solution
{
  public:
    int eraseOverlapIntervals(vector<Interval> &vals)
    {
        if(vals.size() == 0 ) 
            return 0;
        //指望是移除的數量最小，那麼仍是找最短的區間去覆蓋整個區間便可
        sort(vals.begin(), vals.end(), [](const Interval &a, const Interval &b) {
            return a.start < b.start;
        });
        int result = 0;
        stack<Interval>  ss ;
        ss.push(vals[0]);
        for (int i = 1; i < vals.size(); i++)
        {
            Interval tmp = ss.top();
            if (vals[i].end < tmp.end){ //前一個比當前的區間長
                result+=1;
                ss.pop();//把上一個淘汰，下面天然會push進去
            }
            else if(vals[i].start < tmp.end && vals[i].end >= tmp.end){ //區間相交
                result += 1;
                continue;//不用push,直接淘汰
            }
            //知足全部條件 push 
            ss.push(vals[i]);
        }
        return result;
    }
};

4. 如何實現Huffman編碼？

霍夫曼編碼不只會考察文本中有多少個不一樣字符，還會考察每一個字符出現的頻率，根據頻率的不一樣，選擇不一樣長度的編碼。霍夫曼編碼試圖用這種不等長的編碼方法，來進一步增長壓縮的效率。如何給不一樣頻率的字符選擇不一樣長度的編碼呢？根據貪心的思想，咱們能夠把出現頻率比較多的字符，用稍微短一些的編碼；出現頻率比較少的字符，用稍微長一些的編碼。