Fast Walsh-Hadamard Transform

這玩意最近常常出現額……

FFT解決的問題是\[C_{k}=\sum_{i+j=k}A_i \cdot B_j\]

其中\(A\)、\(B\)、\(C\)是三個列向量。

而FWHT是將\(\sum\)下面的\(+\)號換成位運算符時採用的方法。

作法與FFT類似，先將相似的係數表達式轉換爲點值表達式，點積以後再轉換回來。

將係數表達式轉換爲點值表達式的函數叫\(tf\)，反向的叫\(utf\)。

\(A_0\)表示\(A\)的前半部分（二進制位最高位爲0），\(A_1\)表示\(A\)的後半部分（二進制位最高位爲1），轉換方法爲：

\[tf_{xor}(A)=(tf_{xor}(A_0+A_1),tf_{xor}(A_0-A_1))\]\[utf_{xor}(A)=(utf_{xor}(\frac{A_0+A_1}{2}),utf_{xor}(\frac{A_0-A_1}{2}))\]

 

\[tf_{and}(A)=(tf_{and}(A_0+A_1),tf_{and}(A_1))\]\[utf_{and}(A)=(utf_{and}(A_0-A_1),utf_{and}(A_1))\]

 

\[tf_{or}(A)=(tf_{or}(A_0),tf_{or}(A_1+A_0))\]\[utf_{or}(A)=(utf_{or}(A_0),utf_{or}(A_1-A_0))\]

還有一點就是，先遞歸再轉換仍是先轉換再遞歸是對結果沒有影響的，因此能夠把\(tf\)與\(utf\)寫成一個函數。

P.S. http://picks.logdown.com/posts/179290-fast-walsh-hadamard-transform