小數在計算機裏面的存放

一、數學定義：小數，又稱爲實數。通常用十進制表示

例如： 3.14159265

二、科學計算法：

數學中的科學計算法許多種表示法

3.14159265 = 0.314159265 × 10¹

三、計算機中浮點數的表示：

在計算機中的使用科學計數法是一種「規格化計數法」。

3.1規格化計數法：

用科學計數法表示實數時，若是最左邊的第一個數字不是0，則被稱爲「規格化計數法」

例如：

0.1 × 10^-2不是規格化計數法

1.0 × 10^-3則是規格化計數法

2、計算機表示方法：

一、 IEEE 754 標準：

IEEE 754 標準成立於1985年，80年代起全部的計算機系統均支持IEEE 754

IEEE 754 對浮點數在計算機表示方法有三個主要的規定：

對於單精度（single precision）：單精度浮點數位長：32位

（1） IEEE 754 標準規定：第1位爲符號位，1 表明負，0表明正

（2） 接下來用8位來表示指數部分。

（3） 接下來的23位用來表示有效數位

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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S 指數（8位） 有效數位 （23 位）

IEEE 754 考慮到，對浮點數能進行快速的比較和排序，因爲指數部分大小能快速反應出浮點數的大小，因此，在符號位接下來的8位用來表示指數，有效數位的大小反應出浮點數的精度。安排在最後的23位

對於規格化二進制浮點示法而言，有效數位的第1位一定是1而不是0，所以，IEEE 754 規定：實際有效數位中的第1位被省去，於是，有效數位中默計含有1位。

移碼：除了將指數安排在有效數位前面，還不足以快速比較兩個浮點數的大小，例如：

1.0 × 2 ^-1在計算機中表示爲：0 11111111 00000000000000000000000

這個數至關於整數的 0x7F800000

1.0 × 2 ¹在計算機中表示爲：0 00000001 00000000000000000000000

這個數至關於整數的 0x00800000

若是用整數比較指令，比較兩個數，1.0 × 2 -1 居然比 1.0 × 2 1 還大！

爲了解決這個問題，IEEE 754 設計了一個方案：將指數加上一個常數 127

這個常數 127 被稱爲「移碼」（biased notation）

咱們再來看一看：

1.0 × 2 -1 將指數： -1 + 127 = 126 後,得出如下的二進制數：

0 01111110 00000000000000000000 也就是: 0x3F000000

1.0 × 2 1 將指數：1 + 127 = 128 後，得出如下的二進制數：

0 10000000 00000000000000000000 也就是：0x40000000

這樣的話，就能夠得出正確結果了。

對於雙精度（double precision）浮點數來講：位長64 位

（1）IEEE 754 標準規定：第1位爲符號位，1 表明負，0表明正。

（2）接下來用11位來表示指數部分。

（3）接下來的52位用來表示有效數位。

★ 雙精度浮點數用52位來表示有效數位，11位表示指數位，這樣提升浮點數的精度，也還提升了浮點數的取值範圍。

★ 雙精度的移碼爲 1023

例子：

一、將 -0.625 轉化爲計算機中的二進制數浮點數

解：

-0.625 = -5/8 = -5/23 = -101 × 2-3 = -1.01 × 2-1

符號位：1

指數位：-1 + 127 = 126

有效數位：1.01（在機器中要相應去掉默認位）

因此，在機器表示的二進制序列爲：1 01111110 0100000000000000000000

至關於整數：0xBF200000

二、將以下二進制序列用十進制浮點數表示。

11000000101000000000000000000000

解：

符號位：1 是負數

指數位；10000001 = 129， 這個數要減去移碼值，即：129 – 127 = 2

有效數位：01000000000000000000000 這個數要加上默認1，即得：1.01

整個序列結果爲：- 1.01 × 22 = -101 = -5.0