「SDOI 2018」反迴文串

題目大意：

　　求字符集大小爲$k$長度爲$n$的經循環移位後爲迴文串的數量。

題解：

　　這題是D1裏最神的吧

　　考慮一個長度爲$n$迴文串，將其循環移位後全部的串都是知足要求的串。

　　可是顯然這樣計算會算重。考慮什麼狀況下會算重。

　　即當咱們將這個迴文串移位$x$後，發現這個新字符串爲一個迴文串時，必然接下來的移位都是重複的。

　　那麼當$x$爲多少時，新字符串爲一個迴文串？

　　咱們稍加分析就會發現x必定和迴文串的最小循環節$d$有關。

　　考慮最小循環節若爲偶數時，當$x==d/2$時，則會變爲一個新的迴文串。

　　反之，$x==d$時，會出現一個新的迴文串。

　　那麼咱們設$F(d)$表示長度爲$n$，字符集爲$k$，最小循環節爲d的字符串的數量。

　　顯然會有$\sum_{d|n}F(d)==k^{\lceil \frac{n}{2}\rceil}$。

　　設$G(n)=k^{\lceil \frac{n}{2}\rceil}$。

　　由莫比烏斯反演則有$F(d)=\sum_{n|d}\mu(\frac{n}{d})G(n)$。

　　那麼考慮循環節$d$爲偶數的串對答案貢獻應該爲$\frac{d}{2}*F(d)$這個咱們在上面已經分析過了。

　　反之，則有其貢獻爲$d*F(d)$。

　　那麼$Ans=\sum_{d|n}F(d)\frac{d}{1+[d爲偶數]}$。

　　咱們設$H(d)=\frac{d}{1+[d爲偶數]}$。

　　　　

　　觀察這個式子，發現直接求對於$1e18$的數據顯然會T。考慮繼續優化。

　　發現算法瓶頸在於$H(dm)$,思考$\sum_{d|x}\mu(d)*H(dm)$的性質。

　　因爲$H(dm)$的值與奇偶性有關，那麼咱們分類討論一下$m$和$\frac{n}{m}$之間奇偶性的關係。

　　考慮對於四種狀況，咱們（能夠通過打表或者推導）會發現，當$m$爲奇數且$\frac{n}{m}$爲偶數時，$\sum_{d|\frac{n}{m}}\mu(d)H(dm)$爲0,而另外三種狀況都是$H(m)\sum_{d|\frac{n}{m}}\mu(d)H(d)$。

　　

代碼：

#include "bits/stdc++.h"

#define int long long

using namespace std;

inline int read () {
    int s=0,k=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'|ch>'9') ch=='-'?k=-1:0,ch=getchar();
    while (ch>47&ch<='9') s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
    return s*k;
}

typedef long long ll;

inline ll R(ll x) {
    return 1ll*rand()*rand()%x;
}

inline ll Mult ( ll a,ll b ,ll mod) {
    return ( a*b - (ll)( (long double) a*b/mod )*mod + mod )% mod;
}

inline ll powmod(ll a,ll b,ll mod) {
    ll ret=1;
    while (b) {
        if (b&1) ret = Mult(ret,a,mod);
        b>>=1;a=Mult(a,a,mod);
    }
    return ret;
}

int prim[] = {2,3,5,7,11};

inline int Miller_Rabin(ll n) {
    if  (n==2) return true;
    int s=20,i,t=0;
    for (i=0;i<5;++i) 
        if (n==prim[i]) return true;
        else if (n%prim[i]==0) return false;
    ll u=n-1,x[30];
    while (!(u&1))
        ++t,u>>=1;
   // printf("n=%lld u=%l\n",n);
    while (s--) {
        ll a=1ll*rand ()*rand()%(n-2)+2;
        x[0] = powmod (a,u,n);
        for (i=1;i<=t;++i) {
            x[i] = Mult(x[i-1],x[i-1],n);
            if (x[i]==1&&x[i-1]!=1&&x[i-1]!=n-1) return false;
        }
        if (x[t]!=1) return false ;
    }
    return true;
}

inline ll gcd (ll a,ll b) {
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

inline ll Pollard_Rho(ll n,int c) {
    ll i=1,k=2,x=rand()%(n-1)+1,y=x;
  //  printf("n=%lld\n",n);
    while (1) {
        ++i ;
        x = (Mult(x,x,n) + c)%n;
        ll p = gcd (y-x+n,n);
        if (p!=1&&p!=n) return p;
        if (y==x) return n;
        if (i==k) {
            y=x;
            k<<=1;
        }
    }
} 

ll f[100],mod;
int cnt;

inline void find(ll n) {
    if (n==1) return ;
  //  printf("%lld\n",n);
    if (Miller_Rabin(n)) {
        f[++cnt]=n;
        return ;
    }
    //while (n==13);
    ll p=n;
    while (p==n) p = Pollard_Rho(n,R(n-1));
  //  printf("p=%lld\n",p);
    find(p);
    find(n/p);
}

ll n,k;

int m,num[100];
ll p[100][100];
ll ans;

inline void add (ll &x,ll y) {
    x+=y;
    //printf("x=%lld y=%lld mod=%lld\n",x,y,mod);
    if (x>=mod) x-=mod;
    if (x<0) x+=mod;
}

inline void dfs(int step,ll d,ll S) {
    if (step>m) {
        if ((d&1)==0&&(n/d&1)) return ;
        ll tmp=n/d;
        //printf("tmp=%lld d=%lld\n",tmp,d);
        //printf("k=%lld %lld %lld %lld\n",k,powmod(k,(tmp+1)/2,mod),((tmp&1)?tmp:tmp/2),S);
        add ( ans , Mult(Mult(powmod(k,(tmp+1)/2,mod),((tmp&1)?tmp:tmp/2),mod),S,mod));
        return ;
    }
    dfs (step+1,d,S);
    for (int i=1;i<=num[step];++i)
        dfs (step + 1, d*p[step][i],S*(1-p[step][1]));    
    //printf("step=%d\n",step);
}

main ()
{
    //freopen("3.in","r",stdin);
    //freopen("3.out","w",stdout);
    int T=read();
    while (T--) {
        scanf("%lld%lld",&n,&k),mod=read();
        k%=mod;
        cnt=m=0;
        ans =0;
        find(n);
        sort(f+1,f+cnt+1);
        memset(p,0,sizeof p);
        for (int i=1,j=1;i<=cnt;i=j) {
            p[++m][0]=1;
            p[m][1]=f[i];
            num[m]=1;
           // printf("p=%lld\n",f[i]);
            for (j=i+1;j<=cnt;++j)
                if (f[j]!=f[j-1]) break;
                else p[m][j-i+1]=p[m][j-i]*f[j];
            num[m]=j-i;
          //  printf("num=%lld\n",num[m]);
        }
        dfs(1,1,1);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}