RSA算法詳解及C語言實現

RSA算法它是第一個既能用於數據加密也能用於數字簽名的算法。它易於理解和操做，也很流行。算法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能獲得理論上的證實。它經歷了各類攻擊，至今未被徹底攻破。

1、RSA算法 :

首先, 找出三個數, p, q, r,
其中 p, q 是兩個相異的質數, r 是與 (p-1)(q-1) 互質的數
p, q, r 這三個數即是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)
這個 m 必定存在, 由於 r 與 (p-1)(q-1) 互質, 用展轉相除法就能夠獲得了
再來, 計算 n = pq
m, n 這兩個數即是 public key

編碼過程是, 若資料爲 a, 將其當作是一個大整數, 假設 a < n
若是 a >= n 的話, 就將 a 表成 s 進位 (s <= n, 一般取 s = 2^t),
則每一位數均小於 n, 然後分段編碼
接下來, 計算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是編碼後的資料

解碼的過程是, 計算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解碼完畢 等會會證實 c 和 a 實際上是相等的   :)

若是第三者進行竊聽時, 他會獲得幾個數: m, n(=pq), b
他若是要解碼的話, 必須想辦法獲得 r
因此, 他必須先對 n 做質因數分解
要防止他分解, 最有效的方法是找兩個很是的大質數 p, q,
使第三者做因數分解時發生困難
<定理>
若 p, q 是相異質數, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一個正整數, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
則 c == a mod pq

證實的過程, 會用到費馬小定理, 敘述以下:
m 是任一質數, n 是任一整數, 則 n^m == n mod m
(換另外一句話說, 若是 n 和 m 互質, 則 n^(m-1) == 1 mod m)
運用一些基本的羣論的知識, 就能夠很容易地證出費馬小定理的

<證實>
由於 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 因此 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數
由於在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z   and   u == v mod z   =>   xu == yv mod z),
因此, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 若是 a 不是 p 的倍數, 也不是 q 的倍數時,
    則 a^(p-1) == 1 mod p (費馬小定理)   =>   a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
       a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)   =>   a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
    因此 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1   =>   pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
    即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 若是 a 是 p 的倍數, 但不是 q 的倍數時,
    則 a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)
    =>   a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
    =>   q | c - a
    因 p | a
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
    =>   p | c - a
    因此, pq | c - a   =>   c == a mod pq

3. 若是 a 是 q 的倍數, 但不是 p 的倍數時, 證實同上

4. 若是 a 同時是 p 和 q 的倍數時,
    則 pq | a
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
    =>   pq | c - a
    =>   c == a mod pq
                                         Q.E.D.

這個定理說明 a 通過編碼爲 b 再通過解碼爲 c 時, a == c mod n   (n = pq)
但咱們在作編碼解碼時, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
因此這就是說 a 等於 c, 因此這個過程確實能作到編碼解碼的功能

2、RSA 的安全性

RSA的安全性依賴於大數分解，可是否等同於大數分解一直未能獲得理論上的證實，由於沒有證實破解 RSA就必定須要做大數分解。假設存在一種無須分解大數的算法，那它確定能夠修改爲爲大數分解算法。目前， RSA 的一些變種算法已被證實等價於大數分解。無論怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。如今，人們已能分解多個十進制位的大素數。所以，模數n 必須選大一些，因具體適用狀況而定。

3、RSA的速度

因爲進行的都是大數計算，使得RSA最快的狀況也比DES慢上倍，不管是軟件仍是硬件實現。速度一直是RSA的缺陷。通常來講只用於少許數據加密。

4、RSA的選擇密文攻擊

RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。通常攻擊者是將某一信息做一下假裝( Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。而後，通過計算就可獲得它所想要的信息。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結構：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

   前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵--每一個人都能使用公鑰。但從算法上沒法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公 鑰協議，保證工做過程當中實體不對其餘實體任意產生的信息解密，不對本身一無所知的信息簽名；另外一條是決不對陌生人送來的隨機文檔簽名，簽名時首先使用 One-Way HashFunction 對文檔做HASH處理，或同時使用不一樣的簽名算法。在中提到了幾種不一樣類型的攻擊方法。

5、RSA的公共模數攻擊

若系統中共有一個模數，只是不一樣的人擁有不一樣的e和d，系統將是危險的。最廣泛的狀況是同一信息用不一樣的公鑰加密，這些公鑰共模並且互質，那末該信息無需私鑰就可獲得恢復。設P爲信息明文，兩個加密密鑰爲e1和e2，公共模數是n，則：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密碼分析者知道n、e一、e二、C1和C2，就能獲得P。

由於e1和e2互質，故用Euclidean算法能找到r和s，知足：

r * e1 + s * e2 = 1

假設r爲負數，需再用Euclidean算法計算C1^(-1)，則

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

   另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，若是知道給定模數的一對e和d，一是有利於攻擊者分解模數，一是有利於攻擊者計算出其它成對的e’和d’，而無需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。

    RSA的小指數攻擊。 有一種提升 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易於實現，速度有
所提升。但這樣做是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。

    RSA算法是第一個能同時用於加密和數字簽名的算法，也易於理解和操做。RSA是被研究得最普遍的公鑰算法，從提出到如今已近二十年，經歷了各類攻擊的考驗，逐漸爲人們接受，廣泛認爲是目前最優秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並無從理論上證實破譯RSA的難度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是沒法從理論上把握它的保密性能 如何，並且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是NPC問題。 RSA的缺點主要有：A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，於是難以作到一次一密。B)分組長度太大，爲保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤爲是速度較慢，較對稱密碼算法慢幾個數量級；且隨着大數分解技術的發展，這個長度還在增長，不利於數據格式的標準化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )協議中要求CA採用比特長的密鑰，其餘實體使用比特的密鑰。

C語言實現

#include <stdio.h> int candp(int a,int b,int c) { int r=1; b=b+1; while(b!=1) {     r=r*a;     r=r%c;     b--; } printf("%d\n",r); return r; } void main() { int p,q,e,d,m,n,t,c,r; char s; printf("please input the p,q: "); scanf("%d%d",&p,&q); n=p*q; printf("the n is %3d\n",n); t=(p-1)*(q-1); printf("the t is %3d\n",t); printf("please input the e: "); scanf("%d",&e); if(e<1||e>t) {      printf("e is error,please input again: ");      scanf("%d",&e); } d=1; while(((e*d)%t)!=1)   d++; printf("then caculate out that the d is %d\n",d); printf("the cipher please input 1\n"); printf("the plain please input 2\n"); scanf("%d",&r); switch(r) {     case 1: printf("input the m: "); /*輸入要加密的明文數字*/             scanf("%d",&m);             c=candp(m,e,n);             printf("the cipher is %d\n",c);break;     case 2: printf("input the c: "); /*輸入要解密的密文數字*/             scanf("%d",&c);             m=candp(c,d,n);             printf("the cipher is %d\n",m);break; } getch(); }