LeetCode 刷題記錄 ｜004：兩個排序數組的中位數

. 背景知識

我發現leetcode上的題，都有一個特色，就是初一看，這麼簡單。再一看，真tm難。

我把這道題發羣裏，很多人以爲這道題簡單。我只能說你去試着作一下就清楚了。

這道題，在難度係數爲5，這是什麼概念呢。是LeetCode是難度係數最高的。

這道題，要想作對。

須要知道兩個知識。

• 什麼是中位數

• 什麼是時間複雜度爲O(log(n+m))

第一點，什麼是中位數。
比方說：
奇位數：[3, 6, 9]的中位數是6
偶位數：[3, 6, 8, 9]的中位數是6+8/2 = 7

第二點：時間複雜度。
什麼是時間複雜度，我也很難講得明白。若是你須要瞭解更多，你能夠去找本算法的書，亦或者網上搜下。我這裏只能講本節須要瞭解的知識噢。

log級別的時間複雜度，老司機都會聯想到「二分查找法」。

我們舉個例子說.

如今讓你在一個有序列表 [1,3,6,7,9,13,15,17,23] 裏找出17在哪一個位置上。

使用二分查找法，是先拿這個列表最中的數9，先和17進行比較，發現17>9，那再拿9後面的子列表[13,15,17,23]的最中間的數，因爲是偶數，我們取中位數16和17對比，發現小於16<17，再後面的子列表[17,23]的中位數20和17對比，發現17<20，最後只剩下17這一個數了，取出其索引，就知道他的位置了。

上面這個列表長度是9，用時間複雜度來看，就是 log29=3.1699250014

其意思是說，最多須要3次。和咱們上面例子，找出17的位置用了三次（這是最壞的狀況下用的次數）是吻合的。

必定要注意的是，使用二分查找法的前提是列表已是有序。這和咱們本道題，並不同

. 個人答案

慚愧。這道題三個小時我都沒作出來，沒有想到一個好的思路。遂放棄。

即便這樣，在看別人的答案時，依然有一種醍醐灌頂的感受（前提是你有思考過）。具體的解析，在下面我會來剖析，否則相信有很多人會看不懂。

. 網上的答案

對於一個長度爲n的已排序數列a。
若n爲奇數，中位數爲a[n / 2 + 1], 若n爲偶數，則中位數(a[n / 2] + a[n / 2 + 1]) / 2; 若是咱們能夠在兩個數列中求出第K小的元素，即可以解決該問題; 不妨設數列A元素個數爲n，數列B元素個數爲m，各自升序排序，求第k小元素; 取A[k / 2] B[k / 2] 比較; 若是 A[k / 2] > B[k / 2] 那麼，所求的元素必然不在B的前k / 2個元素中(證實反證法); 
反之，必然不在A的前k / 2個元素中，因而咱們能夠將A或B數列的前k / 2元素刪去，求剩下兩個數列的; k - k / 2小元素，因而獲得了數據規模變小的同類問題，遞歸解決; 若是 k / 2 大於某數列個數，所求元素必然不在另外一數列的前k / 2個元素中，同上操做就好。

若是人讀上面的思路以爲難以理解，讓小明來試着解釋一番。

若是是奇數，那麼中位數一定在兩個列表A和B中的某個元素。
若是是偶數，那麼中位數必定是兩個元素的平均數。

那麼問題，咱們能夠將其轉化一下。
若是是奇數，就要再兩個列表裏找到一個第m小的數。
若是是偶數，就要再兩個列表裏找到一個第n小和第n+1小的數，而後再取平均數。

如今思路比較清晰了，不管是哪一種狀況，咱們都得找到第k小的數。因此咱們得實現一個這樣的公共函數。

整個問題的精髓都在這個公共函數裏。包括上面的二分查找法的思想，也將在這裏面體現。

class Solution(object):
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
        """
        :type nums1: List[int]
        :type nums2: List[int]
        :rtype: float
        """
        len1, len2 = len(nums1), len(nums2)
        if (len1 + len2) % 2 == 1:
            # 是奇數
            return self.getKth(nums1, nums2, (len1 + len2)//2 + 1)
        else:
            # 是偶數
            return (self.getKth(nums1, nums2, (len1 + len2)//2) +
                    self.getKth(nums1, nums2, (len1 + len2)//2 + 1)) * 0.5

    # 公共函數：查找兩個列表裏第k小的數
    def getKth(self, A, B, k):
        m, n = len(A), len(B)
        # 保證A比B長度短
        if m > n:
            return self.getKth(B, A, k)

        left, right = 0, m
        # 這個while循環，是找A中<=(整個有序數組中第k個數)的最大數
        while left < right:
            mid = left + (right - left) // 2
            # --------------------------------------------
            # x = k - 1 - mid：表示在B中前k-mid個的索引
            if 0 <= k - 1 - mid < n and A[mid] >= B[k - 1 - mid]:
                # 進入這裏，代表B中的前k-mid個都比中位數小，被剔除
                right = mid
            else:
                # 進入這裏，代表A中的前mid個都比中位數小，被剔除
                left = mid + 1
            # --------------------------------------------

        Ai_minus_1 = A[left - 1] if left - 1 >= 0 else float("-inf")
        # 這個是找B中<=(整個有序數組中第k個數)的最大數
        Bj = B[(k - left) - 1] if k - 1 - left >= 0 else float("-inf")

        return max(Ai_minus_1, Bj)

在看代碼的時候，上面兩長線包圍的代碼塊，是最難以理解的部分，這裏再解釋一下。

假設咱們要找兩個列表裏第k小的數，那麼必將有x個在A列表，k-x個在B列表。
如何找出這個x是何值呢，就使用二分查找法，一次一次試探。

先從A列表中找到最中間的數（這邊使用//，向下取整，假設其索引爲m），去和B列表中的第k-m，對比，若是A[m]<B[k-m]，那麼說明A的前m個元素都比第k小的那個數小，能夠剔除了。

接下來，到A[m+1:]的最中間的數（假設其索引爲n）和B[:]中每(k-m)-n對比，和上面同樣，再剔除一半，直到最後，只剩下一個數。這個數在A中比第k小的數小的最大數。聽起來很繞，請必定去仔細閱讀代碼。

好啦。剖析就到這裏。小明已經儘量把這個解法講得簡單明瞭。相信比網上大多數的講解都更加讓人容易理解。

. 總結

在這道題目中，我陷入了一個死衚衕，說是求中位數，我就硬抓着中位數不放。到最後也沒能想出一個很好的思路。

到最後看了大神們的解答，才知道，有的時候能夠將問題轉換一個思路，問題就迎刃而解了。