第三節 數學預備知識

 集合(Set)

由一些肯定的、彼此不一樣的成員(Member)或者元素(Element)構成的一個總體。成員取自一個更大的範圍，稱爲基類型(Base Type)。集合中成員的個數稱爲集合的基數(Cardinality)。

例如，集合 R 由整數 三、 四、 5 組成，寫成 R={3， 4， 5}。

此時R的成員是 三、四、 5， R 的基類型是整型，R的基數是3。

依賴於集合的基類型，它的成員常常有一個線性順序。

集合的成員叫作該集合的子集(Subset)，子集中的每一個成員都屬於該集合。

沒有元素的集合稱爲空集(Empty Set,又稱爲 Null Set)， 記做Φ。

如上例中， 3 是R 的成員，記爲： 3∈R， 6不是R的成員，記爲： 6∉R。 {3， 4}是 R 的子集。

 

集合的表示法

1) 窮舉法： S＝{2， 4， 6， 8， 10}；

2) 描述法： S＝{x|x 是偶數，且 0≤x≤10}。

 

三、 集合的特性

1) 肯定性：任何一個對象都能被確切地判斷是集合中的元素或不是；

2) 互異性：集合中的元素不能重複；

3) 無序性：集合中元素與順序無關。

 

計量單位(Unit)： 按照IEEE規定的表示法標準，字節縮寫爲「 B」，位縮寫爲「 b」，兆字節(220字節)縮寫爲縮寫爲「 MB」，千字節(210字節)縮寫爲「 KB」。

 

階乘函數Factorial Function

階乘函數 n!是指從 1 到 n 之間全部整數的連乘，其中 n 爲大於 0 的整數。所以， 5!=1*2*3*4*5=120。特別地， 0!=1。

 

取下整和取上整(Floor and Ceiling)：

實數 x 的取下整函數(Floor)記爲⌊x⌋，返回不超過 x 的最大整數。例如， ⌊3.4⌋=3，與⌊3.0⌋的結果相同。

實數 x 的取上整函數(Ceiling)記爲⌈x⌉，返回不小於 x 的最小整數。例如， ⌈3.4⌉=4，與⌈4.0⌉的結果相同。

 

取模操做符（ Modulus）：

取模函數返回整除後的餘數,有時稱爲求餘。在 C#語言中取模操做符的表示爲 n%m。從餘數的定義可知， n%m 獲得一個整數，知足 n=qm+r，其中 q 爲一個整數，且 0≤r＜m。

 

對數：

若是a(a＞0，a≠1)的b次冪等於N，就是ab=N，那麼數b叫作以a爲底N的對數（Logarithm），記做logaN=b，其中a叫作對數的底數，N叫作真數。

從定義可知，負數和零沒有對數。事實上，由於 a＞0，因此不論 b 是什麼實數，都有 ab＞0，這就是說不論 b 是什麼數，N 永遠是正數，所以負數和零沒有對數。

在一個線性表中查找指定值所使用的折半查找算法：首先與中間元素進行比較，以肯定下一步是在上半部分進行查找仍是在下半部分進行查找。而後繼續將適當的子表分半，直到找到指定的值。一個長度爲n的線性表被促逐次分半，直到最後的子表中只有一個元素，一共須要進行多少次呢？答案是log2n次。

 

本書中用到的對數幾乎都以 2 爲底，這是由於數據結構和算法老是把事情一分爲二，或者用二進制位來存儲編碼。

 

遞歸：

一個算法調用本身來完成它的部分工做，在解決某些問題時，一個算法須要調用自身。若是一個算法直接調用本身或間接地調用本身，就稱這個算法是遞歸的(Recursive)。根據調用方式的不一樣，它分爲直接遞歸(Direct Recursion)和間接遞歸(Indirect Recursion)。

 

有不少數學函數是以遞歸來定義的。

如你們熟悉的階乘函數，咱們能夠對n!做以下定義：

階乘函數的C#語言實現以下。

public static long fact(int n)

{

    if(n <= 1)

       return 1;

    else

       return n * fact(n-1);

}

遞歸算法一般不是解決問題最有效的計算機程序，由於遞歸包含函數調用，函數調用須要時空開銷。因此，遞歸比其餘替代選擇諸如while 循環等，所花費的代價更大。