2020考研數學二大綱

高等數學

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1、函數、極限、連續

考試內容

函數的概念及表示法、函數的有界性、單調性、週期性和奇偶性、複合函數、反函數、分段函數和隱函數、
基本初等函數的性質及其圖形、初等函數、函數關係的創建、數列極限與函數極限的定義及其性質、
函數的左極限與右極限、無窮小量和無窮大量的概念及其關係、無窮小量的性質及無窮小量的比較、
極限的四則運算、極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則、兩個重要極限：

函數連續的概念、函數間斷點的類型、初等函數的連續性、閉區間上連續函數的性質

考試要求

1. 理解函數的概念，掌握函數的表示法，並會創建應用問題的函數關係.
2. 瞭解函數的有界性、單調性、週期性和奇偶性.
3. 理解複合函數及分段函數的概念，瞭解反函數及隱函數的概念.
4. 掌握基本初等函數的性質及其圖形，瞭解初等函數的概念.
5. 理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關係.
6. 掌握極限的性質及四則運算法則.
7. 掌握極限存在的兩個準則，並會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.
8. 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.
9. 理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型.
10. 瞭解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，並會應用這些性質.

2、一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念、導數的幾何意義和物理意義、函數的可導性與連續性之間的關係、平面曲線的切線和法線、
導數和微分的四則運算、基本初等函數的導數、複合函數、反函數、隱函數以及參數方程所肯定的函數的微分法、
高階導數、一階微分形式的不變性、微分中值定理、洛必達(L'Hospital)法則、函數單調性的判別、函數的極值、
函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線、函數圖形的描繪、函數的最大值與最小值、弧微分、曲率的概念、曲率圓與曲率半徑

考試要求

1. 理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關係，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，瞭解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關係.
2. 掌握導數的四則運算法則和複合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式.瞭解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分.
3. 瞭解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數.
4. 會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所肯定的函數以及反函數的導數.
5. 解並會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，瞭解並會用柯西(Cauchy)中值定理.
6. 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.
7. 理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用.
8. 會用導數判斷函數圖形的凹凸性(注:在區間(a, b)內，設函數\(\mathit{f(x)}\)具備二階導數.當\(\mathit f\) \(\mathit{''(x)>0}\)時，\(\mathit{f(x)}\)的圖形是凹的;當\(\mathit{f}\) \(\mathit{''(x)<0}\)時，\(\mathit{f(x)}\)的圖形是凸的) ,會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形.
9. 瞭解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑.

3、一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念、不定積分的基本性質、基本積分公式、定積分的概念和基本性質、
定積分中值定理、積分上限的函數及其導數、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式、不定積分和定積分的
換元積分法與分部積分法、有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分、反常(廣義)積分、定積分的應用

考試要求

1. 理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念.
2. 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.
3. 會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分.
4. 理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓一萊布尼茨公式.
5. 瞭解反常積分的概念，會計算反常積分.
6. 掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積爲已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數的平均值.

4、多元函數微積分學

考試內容

多元函數的概念、二元函數的幾何意義、二元函數的極限與連續的概念、有界閉區域上二元連續函數的性質、
多元函數的偏導數和全微分、多元複合函數、隱函數的求導法、二階偏導數、多元函數的極值和條件極值、
最大值和最小值、二重積分的概念、基本性質和計算

考試要求

1. 瞭解多元函數的概念，瞭解二元函數的幾何意義.
2. 瞭解二元函數的極限與連續的概念，瞭解有界閉區域上二元連續函數的性質.
3. 瞭解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元複合函數一階、二階偏導數，會求全微分，瞭解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數.
4. 瞭解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，瞭解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，並會解決一些簡單的應用問題.
5. 瞭解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法(直角座標、極座標).

5、常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念、變量可分離的微分、齊次微分方程、一階線性微分方程、可降階的高階微分方程、
線性微分方程解的性質及解的結構定理、二階常係數齊次線性微分方程、高於二階的某些常係數齊次線性微
分方程、簡單的二階常係數非齊次線性微分方程、微分方程的簡單應用

考試要求

1. 瞭解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.
2. 掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程.
3. 會用降階法解下列實行的微分方程：\(y^{(n)}={f}(x)\),\(y''={f}(x,y')\),和\(y''={f}(y,y')\).
4. 理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理.
5. 掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法，並會解某些高於二階的常係數齊次線性微分方程.
6. 會解自由項爲多項式、指數函數、正弦函數、餘弦函數以及它們的和與積的二階常係數非齊次線性微分方程.
7. 會用微分方程解決一些簡單的應用問題.

線性代數

1、行列式

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考試內容

行列式的概念和基本性質、行列式按行(列)展開定理

考試要求

1. 瞭解行列式的概念，掌握行列式的性質.
2. 會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式.

2、矩陣

考試內容

矩陣的概念、矩陣的線性運算、矩陣的乘法、方陣的冪、方陣乘積的行列式、矩陣的轉置、逆矩陣的概念和性質、
矩陣可逆的充分必要條件、伴隨矩陣、矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的秩、矩陣的等價、分塊矩陣及其運算

考試要求

1.理解矩陣的概念，瞭解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣和正交矩陣以及它們的性質.
2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，瞭解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質.
3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件.理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.
4.瞭解矩陣初等變換的概念，瞭解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法.
5.瞭解分塊矩陣及其運算.

3、向量

考試內容

向量的概念、向量的線性組合和線性表示、向量組的線性相關與線性無關、向量組的極大線性無關組、等價向量組、
向量組的秩、向量組的秩與矩陣的秩之間的關係、向量的內積、線性無關向量組的的正交規範化方法

考試要求

1. 理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念.
2. 理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法.
3. 瞭解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩.
4. 瞭解向量組等價的概念，瞭解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩的關係.
5. 瞭解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規範化的施密特(Schmidt)方法.

4、線性方程組

考試內容

線性方程組的克拉默(Cramer)法則、齊次線性方程組有非零解的充分必要條件、非齊次線性方程組有解的充分必要條件、
線性方程組解的性質和解的結構、齊次線性方程組的基礎解系和通解、非齊次線性方程組的通解

考試要求

1. 會用克拉默法則.
2. 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件.
3. 理解齊次線性方程組的基礎解系及通解的概念，掌握齊次線性方程組基礎解系和通解的求法.
4. 理解非齊次線性方程組的解的結構及通解的概念.
5. 會用初等行變換求解線性方程組

5、矩陣的特徵值及特徵向量

考試內容

矩陣的特徵值和特徵向量的概念，性質、類似矩陣的概念及性質、矩陣可類似對角化的充分必要條件、類似對角矩陣、
實對稱矩陣的特徵值、特徵向量及其類似對角矩陣

考試要求

1. 理解矩陣的特徵值和特徵向量的概念及性質，會求矩陣特徵值和特徵向量.
2. 理解類似矩陣的概念、性質及矩陣可類似對角化的充分必要條件，會將矩陣化爲類似對角矩陣.
3. 理解實對稱矩陣的特徵值和特徵向量的性質.

6、二次型

考試內容

二次型及其矩陣表示、合同變換與合同矩陣、二次型的秩、慣性定理、二次型的標準形和規範形、用正交變換和配方法化二次型爲標準形、
二次型及其矩陣的正定性

考試要求

1. 瞭解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，瞭解合同變換與合同矩陣的概念.
2. 瞭解二次型的秩的概念，瞭解二次型的標準形、規範形等概念，瞭解慣性定理，會用正交變換和配方法化二次型爲標準形.
3. 理解正定二次型、正定矩陣的概念，並掌握其判別法.