算法詳解之Tarjan

「tarjan陪伴強聯通份量
生成樹完成後思路才閃光
歐拉跑過的七橋古塘
讓你 心馳神往」----《膜你抄》

1、tarjan求強連通份量

1. 什麼是強連通份量？

引用來自度孃的一句話：

「有向圖強連通份量：在有向圖G中，若是兩個頂點vi,vj間（vi>vj）有一條從vi到vj的有向路徑，同時還有一條從vj到vi的有向路徑，則稱兩個頂點強連通(strongly connected)。
若是有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。有向圖的極大強連通子圖，稱爲強連通份量(strongly connected components)。」

一臉懵逼......不過倒也不難理解。

反正就是在圖中找到一個最大的圖，使這個圖中每一個兩點都可以互相到達。這個最大的圖稱爲強連通份量，同時一個點也屬於強連通份量。

如圖中強連通份量有三個：1-2-3,4,5

1. 強連通份量怎麼找？

噫......固然，經過肉眼能夠很直觀地看出1-2-3是一組強連通份量，但很遺憾，機器並無眼睛，因此該怎麼判斷強連通份量呢？

若是還是上面那張圖，咱們對它進行dfs遍歷。

能夠注意到紅邊很是特別，由於若是按照遍歷時間來分類的話，其餘邊都指向在本身以後被遍歷到的點，而紅邊指向的則是比本身先被遍歷到的點。

若是存在這麼一條邊，那麼咱們能夠yy一下，emmmm.......

從一個點出發，一直向下遍歷，而後忽得找到一個點，那個點居然有條指回這一個點的邊！

那麼想必這個點可以從自身出發再回到自身

想必這個點和其餘向下遍歷的該路徑上的全部點構成了一個環，

想必這個環上的全部點都是強聯通的。

但只是強聯通啊，咱們須要求的但是強連通份量啊......

那怎麼辦呢？

咱們仍是yy出那棵dfs樹

不妨想一下，何時一個點和他的全部子孫節點中的一部分構成強連通份量？

他的子孫再也沒有指向他的祖先的邊，卻有指向他本身的邊

由於只要他的子孫節點有指向祖先的邊，顯然能夠構成一個更大的強聯通圖。

好比說圖中紅色爲強連通份量，而藍色只是強聯通圖

那麼咱們只須要知道這個點u下面的全部子節點有沒有連着這個點的祖先就好了。

但彷佛還有一個問題啊......

咱們怎麼知道這個點u它下面的全部子節點必定是都與他強聯通的呢？

這彷佛是不對的，這個點u之下的全部點不必定都強聯通

那麼怎麼在退回到這個點的時候，知道全部和這個點u構成強連通份量的點呢？

開個棧記錄就好了

什麼？！這麼簡單？

沒錯~就是這麼簡單~

若是在這個點以後被遍歷到的點已經能與其下面的一部分點（也可能就只有他一個點）已經構成強連通份量，即它已是最大的。

那麼把它們一塊兒從棧裏彈出來就好了。

因此最後處理到點u時若是u的子孫沒有指向其祖先的邊，那麼它以後的點確定都已經處理好了，一個常見的思想，能夠理解一下。

因此就能夠保證棧裏留下來u後的點都是能與它構成強連通份量的。

彷佛作法已經明瞭了，用程序應該怎麼實現呢？

因此爲了實現上面的操做，咱們須要一些輔助數組

• (1)、dfn[ ]，表示這個點在dfs時是第幾個被搜到的。

• (2)、low[ ]，表示這個點以及其子孫節點連的全部點中dfn最小的值

• (3)、stack[ ]，表示當前全部可能能構成是強連通份量的點。

• (4)、vis[ ]，表示一個點是否在stack[ ]數組中。

那麼按照之上的思路，咱們來考慮這幾個數組的用處以及tarjan的過程。

假設如今開始遍歷點u：

(1)、首先初始化dfn[u]=low[u]=第幾個被dfs到

dfn能夠理解，但爲何low也要這麼作呢？

由於low的定義如上，也就是說若是沒有子孫與u的祖先相連的話，dfn[u]必定是它和它的全部子孫中dfn最小的（由於它的全部子孫必定比他後搜到）。

(2)、將u存入stack[ ]中，並將vis[u]設爲true

stack[ ]有什麼用？

若是u在stack中，u以後的全部點在u被回溯到時u和棧中全部在它以後的點都構成強連通份量。

(3)、遍歷u的每個能到的點，若是這個點dfn[ ]爲0，即仍未訪問過，那麼就對點v進行dfs，而後low[u]=min{low[u],low[v]}

low[ ]有什麼用？

應該能看出來吧，就是記錄一個點它最大能連通到哪一個祖先節點（固然包括本身）

若是遍歷到的這個點已經被遍歷到了，那麼看它當前有沒有在stack[ ]裏,若是有那麼low[u]=min{low[u],low[v]}

若是已經被彈掉了，說明不管如何這個點也不能與u構成強連通份量，由於它不能到達u

若是還在棧裏，說明這個點確定能到達u，一樣u能到達他，他倆強聯通。

(4)、假設咱們已經dfs完了u的全部的子樹那麼以後不管咱們再怎麼dfs，u點的low值已經不會再變了。

那麼若是dfn[u]=low[u]這說明了什麼呢？

再結合一下dfn和low的定義來看看吧

dfn表示u點被dfs到的時間，low表示u和u全部的子樹所能到達的點中dfn最小的。

這說明了u點及u點之下的全部子節點沒有邊是指向u的祖先的了，即咱們以前說的u點與它的子孫節點構成了一個最大的強連通圖即強連通份量

此時咱們獲得了一個強連通份量，把全部的u點之後壓入棧中的點和u點一併彈出，將它們的vis置爲false，若有須要也能夠給它們打上相同標記（同一個數字）

對了，tarjan一遍不能搜完全部的點，由於存在孤立點或者其餘

因此咱們要對一趟跑下來尚未被訪問到的點繼續跑tarjan

怎麼知道這個點有沒有被訪問呢？

看看它的dfn是否爲0！

這看起來彷佛是o(\(n^2\))的複雜度，但其實均攤下來每一個點只會被遍歷一遍

因此tarjan的複雜度爲o(\(n\))。

tarjan到此結束

參考博文:http://www.javashuo.com/article/p-tajucyol-gy.html