算法與數據結構(七) AOV網的拓撲排序(Swift版)

今天博客的內容依然與圖有關，今天博客的主題是關於拓撲排序的。拓撲排序是基於AOV網的，關於AOV網的概念，我想引用下方這句話來介紹：

AOV網：在現代化管理中，人們經常使用有向圖來描述和分析一項工程的計劃和實施過程，一個工程常被分爲多個小的子工程，這些子工程被稱爲活動（Activity)，在有向圖中若以頂點表示活動，有向邊表示活動之間的前後關係，這樣的圖簡稱爲AOV網。

說的簡單點，AOV網就是表示一個工程中某些子項的前後順序。就拿工地搬磚來講吧，只有磚廠送來磚，工人才能搬。那麼磚廠送磚就是搬磚的前提。先這麼一聊，下方會給出詳細的介紹。廢話少說進入今天的主題。

 

1、AOV網與拓撲排序

本篇博客咱們先聊一下AOV網和拓撲排序的關係，下方是咱們列舉的一個很是簡單的例子，固然下方的這個圖就是一個簡單的AOV圖，麻雀雖小，五臟俱全。在下方的AOV圖中，送磚和找人是並列的，先執行誰都行。不過搬磚的前提是即送完了磚也找完了人，而後就能夠開始搬磚了，因此送磚和找人就是搬磚的前提。那麼讓搬磚這件事情順利進行下去的順序有"送磚->找人->搬磚"或者「找人->送磚->搬磚」這兩個序列，而這兩個序列都是拓撲序列。

　　

生成「送磚->找人->搬磚」這個序列的過程咱們稱之爲拓撲排序。若是非得說的官方和抽象點，那麼仍是引用拓撲排序的定義吧，下方就是拓撲排序的定義：

拓撲排序：對一個有向無環圖(Directed Acyclic Graph簡稱DAG)G進行拓撲排序，是將G中全部頂點排成一個線性序列，使得圖中任意一對頂點u和v，若邊(u,v)∈E(G)，則u在線性序列中出如今v以前。一般，這樣的線性序列稱爲知足拓撲次序(Topological Order)的序列，簡稱拓撲序列。簡單的說，由某個集合上的一個偏序獲得該集合上的一個全序，這個操做稱之爲拓撲排序。

 上面這個定義就比較抽象了，固然仍是咱們搬磚的例子好理解一些。在有向無環圖中的結點若是有入度的話，那麼就說明該結點優先級要低於那些能夠到達改點的結點。而那些沒有入度的結點的優先級就比較高，這些結點的完成不依賴與其餘結點。這樣說若是有些抽象的話，那麼咱們就看下方拓撲排序詳細的示例圖。

 

2、拓撲排序示意圖

本部分咱們將會給出拓撲排序詳細的示意圖。拓撲排序實現是依賴於棧與隊列的數據結構，棧用來暫存那些入度爲0的結點，而隊列負責存儲已經生成的拓撲序列。由於前幾篇關於圖的博客，咱們都使用了相同的圖結構。本篇博客也不例外，咱們依然會使用以前的有向圖，由於以前的圖是有向無環圖，因此是能夠生成拓撲序列的。下方就是要生成拓撲序列的有向無環圖。

在下方的有向無環圖每一個結點上有一個綠色的數字，該數字記錄的就是該結點的入度。入度爲零，那麼該數字就是0，若是入度爲1，那麼該數字就是1。

　　

下方是下圖拓撲排序每一步的示意圖。接下來咱們將會給出下方每一步示意圖的詳細解說。

• （1）：首先將圖中入度爲0的結點入棧，由於此圖中只有A結點的入度爲0，因此咱們將A入棧。

• （2）：將A從棧中Pop到咱們的拓撲隊列中，將那些以A發出的邊爲入度的結點的度數減一。對於此示例來講也就是將B和F入度減1. 由於B和F的入度數減一後成了0， 因此也將B, F這兩結點入棧。

• （3）：將F從棧中Pop到拓撲隊列中，由於圖中有 F->G和F->E兩條邊，因此 將G和E的入度數減一。由於E的入度數減一後爲0，因此將E入棧。

• （4）：將E從棧中Pop到拓撲隊列中，由於圖中E->H和E->D兩條邊， 因此講H和D的兩個結點的入度減一。兩個結點減一操做後沒有入度爲零的節點，因此本步沒有結點入棧。

• （5）：接着從棧中Pop結點到拓撲隊列中，將B結點Pop出棧入拓撲隊列。由於C、I、G結點與B相連，B添加進拓撲序列後，這三個結點的入度都減一。C和G的入度減一後爲0，因此將其加入棧中。

• （6）：將C從棧中pop到拓撲隊列中，與C相連的結點是I和D, 將這兩個結點的入度減1。I的入度減一後爲0，將其Push到棧中暫存。

• （7）：將I結點從棧中pop到拓撲隊列中， D與I相連，將D的入度再次減一。本輪沒有要入棧的結點。

• （8）：將G從棧中pop到拓撲隊列中， G與H和D相連，將D與H的入度減一。H的入度減一操做後入度爲零將其入棧。

• （9）：將H從站中pop到拓撲隊列中， D與H相連，將D的入度減一，減一後爲0，因此將D入棧。

• （10）：將D從棧中pop到拓撲隊列中，此刻棧中爲空，拓撲序列生成完畢。

　　

　　

上面這些步驟已經很詳細了，上面這些步驟搞明白後，給出代碼實現就簡單多了。下方咱們會給出具體的代碼實現。

 

3、拓撲排序的代碼實現

講完概念和原理後，接下來咱們就要開始實踐了。本部分就會給出具體的代碼實現，固然咱們依然採用Swift語言來作。首先咱們建立要依賴的隊列和棧，而後再構建有向圖的鄰接鏈表，最後給出拓撲排序的代碼實現。進入本部分的主題：

 

1.隊列與棧

接下來咱們就要實現拓撲序列生成時要使用的棧與隊列，關於棧與隊列本篇博客就不作過多的贅述了，由於咱們以前已經對棧與隊列作了詳細的介紹。關於棧與隊列更詳細的內容請查看以前的博客《棧與隊列的線性和鏈式表示（Swift面向對象版）》。

下方這段代碼段就是咱們本篇博客要使用的棧的類，固然是簡化版的，也就是對Array作了一個簡單的封裝。棧中存儲的數據類型是咱們鄰接鏈表的結點。具體代碼以下所示。

　　

 

下方則是咱們存儲拓撲序列的隊列，固然也是基於Array的簡單封裝。 

　　

 

2.有向圖的構建

接下來咱們來建立咱們的有向圖。本篇博客所使用的有向圖咱們是使用鄰接鏈表來表示的。下方這段代碼段就是鄰接鏈表的結點，固然在以前不知一篇博客中咱們使用到了下方這個結點。本篇博客中的weightNumber不單單隻存邊的權值，在數組中的結點的weightNumber咱們用來存儲該結點的入度。

　　

 

下方這段代碼就是有向圖的建立，在網鄰接鏈表上掛入結點時，要講被掛入的結點的入度加1便可。由於下方代碼與以前圖的建立的代碼相似，在此就不作過多贅述了。

　　

 

下方這兩個截圖則是上述代碼段的輸入和輸出。根據輸出的結果咱們不難看出咱們所建立的圖就是一個有向圖。

　　

　　

 

三、拓撲序列的生成

接下來就是咱們本篇博客代碼實現的核心了。咱們將基於上面建立的AOV網來生成拓撲序列。其實下方生成拓撲序列的代碼就是上述示例描述的具體實現。接下來咱們將具體的說下下方這段拓撲排序的代碼。主要歸納起來分爲下方三步：

• （1）：首先初始化咱們所須要的棧，而後 遍歷AOV網中全部的結點，將入度爲0的結點添加到咱們的棧中暫存。

• （2）：循環將咱們棧中的元素添加到拓撲隊列中。每從棧中Pop出一個結點就把與該結點相連的結點的入度減1，若是減一後該結點的度數爲0則將其入棧。而後繼續下一輪的循環。

• （3）：當棧中沒有暫存的結點後，說明拓撲序列生成完畢。若是拓撲隊列中的元素要小於圖結點的個數，那麼說明圖中存在環路，不能生成相應的拓撲序列。

　　

 

下方截圖就是咱們以前建立的有向圖所生成的拓撲序列，以下所示:

　　

 

至此，咱們本篇博客的內容也就結束了，下方依然是咱們本篇博客所涉及Demo的分享連接，以下所示：

github分享連接：https://github.com/lizelu/DataStruct-Swift/tree/master/TopoLogicalSort