擬陣

寫在前面

　　對於擬陣的學習，便於複習

　　全部資料寫得都很像，好比百度百科和維基百科寫的差很少就沒什麼區別

　　摘錄自網絡，標明出處

 

 

定義

在組合數學中，擬陣是一個對向量空間中線性獨立概念的歸納與概括的數學結構。擬陣有許多等價的定義方式，最多見的定義方式是用獨立集，基，圈，閉集合，閉平面，閉包算子或秩函數 　　擬陣理論普遍地借用了線性代數和圖理論的術語，由於它是這些領域的重點概念的抽象 　　擬陣在幾何，拓撲學，組合優化，網絡理論和編碼理論上都有不少應用。它抽象了不少圖的性質．爲組合優化問題和設計多項式算法提供了強有力的工具 ——bia度百科

 

子集系統是一個二元組M=(S,L)，它知足下面三個條件： (1)S是一個有限集 (2)L是由S的一些子集組成的有限非空集 (3)遺傳性和交換性 ——信息學奧賽之數學一本通

　　遺傳性：對於任意的B⊆L，任意的A⊆B，有A⊆L(可知空集必須是L的元素)

　　交換性：對任意的A⊆L，B⊆L，|A|＜|B|，存在一個x∈B-A，使得A∪{x}⊆L

 

　　不太好理解，畫了兩張Venn圖：

　　遺傳性：

　　交換性：

 

 

一個擬陣M是一個有序對M=(S,L)，其中S是一個有限非空集合，L⊆S，有如下三大公理： (1)∅∈L，即L不爲空，稱爲擬陣的獨立集公理 (2)M具備可遺傳性 (3)M具備交換性，稱爲獨立擴充公理 常見的擬陣問題：向量子集優化問題，揹包問題，Kruskal，貪心等 ——程序設計中的組合數學

　　Venn圖同上

 

 

In combinatorics, a branch of mathematics, a matroid is a structure that abstracts and generalizes the notion of linear independence in vector spaces. There are many equivalent ways to define a matroid, the most significant being in terms of independent sets, bases, circuits, closed sets or flats, closure operators, and rank functions 　　Matroid theory borrows extensively from the terminology of linear algebra and graph theory, largely because it is the abstraction of various notions of central importance in these fields. Matroids have found applications in geometry, topology, combinatorial optimization, network theory and coding theory 　　There are many equivalent (cryptomorphic) ways to define a (finite) matroid ——Wikipedia

譯： 　　在組合數學中，擬陣是一種抽象和歸納向量空間中線性獨立概念的結構。定義擬陣的方法有不少，其中最重要的是獨立集、基、電路、閉集或平面、閉算子和秩函數 　　擬陣理論普遍借用線性代數和圖論的術語，主要是由於它是這些領域中各類重要概念的抽象。擬陣在幾何學、拓撲學、組合優化、網絡理論和編碼理論等領域有着普遍的應用 　　定義（有限）擬陣有許多等價（隱式）方法

 

 

• 獨立集

　　就獨立來講，一個有限的擬陣 M 是一個二元組(E,L)其中E是一個有限集(稱之爲基礎集) ，
　　L是一個由E的子集構成的集族(稱之爲獨立集)它須要知足下面的條件：

　　　　1. 空集是獨立的，也就是說，∅∈L

　　　　　　換個說法就是，至少有一個E的子集是獨立的，即L≠∅

　　　　2. 每一個獨立集的子集是獨立的，即： 對於每一個子集A'⊆A⊆E，若是A⊆L，則A‘⊆L，有時咱們稱之爲遺傳特性

　　　　3. 若是A和B是L的兩個獨立集，A比B有更多的元素，則在A中存在一個元素，當其加入B時獲得一個比B更大獨立集

　　　　　　有時咱們稱之爲擴充特性或者叫獨立集交換特性

　　　　　　2，3兩個特性定義了一個公認的組合結構，叫作獨立系統

 ——bia度百科

• 基，圈

　　對於一個基礎集的子集，若是它不是獨立的，那麼咱們稱它爲不獨立集

　　對於擬陣M中的一個獨立集A，若是加入基礎集E中任何一個元素後，A都變爲不獨立集，那麼咱們稱A是最大獨立集，也叫作擬陣的基

　　對於擬陣M中的一個不獨立集B，若是它的任何一個真子集都是獨立的，那麼咱們稱B是最小不獨立集，也叫作擬陣的圈

　　之因此這裏出現了圈，是由於擬陣中的圈正好與圖論中圖的環相對應

　　獨立集，基或圈都能完整地描述擬陣：一個集合是獨立的當且僅當它不是不獨立集，當且僅當它是基的一個子集，當且僅當它不包含任何圈

　　不獨立集的集合，基的集合，圈的集合都擁有能做爲擬陣公理的性質

　　例如，咱們能夠用元組(E，β)定義擬陣M，其中E是一個有限集，β是E的子集的集合，咱們稱之爲「基集」，有如下性質：

　　　　1.β不是空集

　　　　2. 若是A和B是β中不一樣的元素，而且 ，那麼存在一個元素，使得

（這裏的斜槓表示差集，該性質稱爲基交換性質）

　　根據基交換性質咱們能夠得出結論，β 中沒有一個元素是其它元素的真子集

 ——bia度百科

• 秩函數

　　兩個擬陣的基具備相同數量的元素，它是擬陣理論的一個基礎結論，這與線性代數中的基公理相似，基的元素的個數稱爲似陣的秩

　　若是M是一個E上的擬陣，而且A是E的一個子集，那麼A上的擬陣能夠經過把一個A的子集看成是獨立集來定義當且僅當這個子集在M中是獨立集

　　這個性質使得咱們能夠討論子擬陣和E中任何子集的秩

　　子集A的秩經過秩函數  來定義，它有如下幾種性質：

　　　　1. 秩函數的值老是非負的

　　　　2. 對於任意E的子集A，有

 　　　　3. 對於E的任意兩個子集A 和B ，有，這意味着秩函數是一個子模函數

 　　　　4. 對於任意集合A和元素x，有

 

　　這些屬性能夠被用來替換有限擬陣的定義：若是(E,r)知足這些屬性，那麼E上的擬陣獨立集能夠定義爲E的子集A，且A知足

　　子集A的元素個與其秩的差  叫做A的零化度或補秩。它是從A中移除元素使得A成爲獨立集的最小移除數量

　　E在擬陣M上的零化度叫作M的零化度或M的補秩

 ——bia度百科

• 閉包算子

　　設M是有限集E上的一個擬陣，其秩函數有上述定義。E的子集A的閉包cl(A)的定義以下：

　　閉包算子  擁有以下性質，其中 表示冪集

　　　　1. 對於E的全部子集X，有

　　　　2. 對於E的全部子集X，有

　　　　3.對於E的全部子集X和Y，若是，那麼

　　　　4. 對於E的全部元素a和b，全部子集Y，若是那麼

 

　　前三個性質是閉包算子的定義，第四個性質叫作Mac Lane–Steinitz交換性質

　　這些性質也能夠看成是擬陣的另外一個定義，每一個遵照這些性質的決定一個擬陣

 ——bia度百科

• 平面

　　咱們稱閉包等於自身的集合是封閉的，這樣的集合也叫作擬陣的平面或子空間

　　若是一個集合的秩達到了最大，那麼這個集合是封閉的，也就是說往該集合中加入任何元素都不會使它的秩變大

　　擬陣上的封閉的集合有如下性質：

　　　　1.E是封閉的

　　　　2. 若是S和T都是平面，那麼也是一個平面

　　　　3. 若是S是一個平面，那麼平面T覆蓋S（意味着T真包含S但S和T間不存在平面U），劃分了E\S中的元素

 ——bia度百科

• 超平面

　　在一個秩爲r的擬陣中，秩爲r-1的平面稱爲超平面，它是平面的最大真子集，也就是說超平面的惟一父集是E，它擁有擬陣的全部元素

　　超平面也叫作補原子，補原子是一個E的一個不能生成M子集，但往它加入任何元素均可以產生生成集

　　擬陣的超平面系擁有如下屬性，它也被認爲是擬陣的另外一個公理

　　　　1.超平面系中不存在不一樣的使得的X和Y，也就是說超平面是一個Sperner系

 　　　　2.對於每一個和不一樣的，若是，那麼存在，而且有 

 ——bia度百科