QR 碼詳解（下）

時間 2019-11-13

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快速響應矩陣碼（下）

書接上回，繼續下半場。算法

糾錯碼

QR 碼採用糾錯算法生成一系列糾錯碼字，添加在數據碼字序列以後，使得符號能夠在遇到損壞時能夠恢復。這就是爲何二維碼即便有殘缺也能夠掃出來。沒有殘缺創造殘缺也要把它掃出來，相信你們見過不少中間帶圖標的二維碼吧。c#

糾錯碼字能夠糾正兩種類型的錯誤，拒讀錯誤（錯誤碼字的位置已知）和替代錯誤（錯誤碼字位置未知）。一個拒讀錯誤是一個沒掃描到或沒法譯碼的符號字符，一個替代錯誤是錯誤譯碼的符號字符。若是一個缺陷使深色模塊變成淺色模塊，或將淺色模塊變成深色模塊，將符號字符錯誤地譯碼爲是另外一個不一樣的碼字，形成替代錯誤，這種數據替代錯誤須要兩個糾錯碼字來糾正。數組

糾錯等級

糾錯共有 4 個等級，對應 4 種糾錯容量，以下表所示。工具

糾錯等級	L	M	Q	H
糾錯容量，%（近似值）	7	15	25	30

用戶應肯定合適的糾錯等級來知足應用需求。從 L 到 H 四個不一樣等級所提供的檢測和糾錯的容量逐漸增長，其代價是對錶示給定長度數據的符號的尺寸逐漸增長。例如，一個版本爲 20-Q 的符號能包含 485 個數據碼字，若是能夠接受一個較低的糾錯等級，則一樣的數據也可用版本 15-L 的符號表示（準確數據容量爲 523 個碼字）。學習

糾錯等級的選擇與下列因素相關：測試

預計的符號質量水平：預計的符號質量等級越低，應用的糾錯等級就應越高。
首讀率的重要性。
在掃描誤讀失敗後，再次掃描的機會。
印刷符號的空間限制了使用較高的糾錯等級。

糾錯等級【L】適用於具備高質量的符號以及/或者要求使表示給定數據的符號儘量最小的狀況。等級【M】被認爲是「標準」等級，它具備較小尺寸和較高的可靠性。等級【Q】是具備「高可靠性」的等級，適用於一些重要的或符號印刷質量差的場合，等級【H】提供可實現的最高的可靠性。編碼

糾錯碼字的生成

QR 碼的糾錯使用 Reed–Solomon 編碼，有關 Reed–Solomon 碼，能夠參考這篇文章：http://article.iotxfd.cn/RFID/Reed%20Solomon%20Codes。這裏我只大概介紹一下計算過程。spa

糾錯碼字的生成多項式

糾錯碼字是用數據碼字除糾錯碼多項式所獲得的餘數。糾錯碼多項式咱們能夠查表得出，首先查下表 3：QR碼符號各版本的糾錯特性。這裏我僅列出小部分，完整表數據請查看 GB/T 18284-2000 中的表 9。翻譯

表 3：QR碼符號各版本的糾錯特性

其中（c，k，r)：c=碼字總數；k=數據碼字數；r=糾錯容量。3d

以前【例 1 續 1】肯定使用的是版本1-H，查表獲得糾錯碼字數爲：17（上表紅框部分）。碼字總數爲 26 表示此版本 QR 碼可容納的總數據量，其中數據碼字佔 9 個，糾錯碼字佔 17 個。接下來根據糾錯碼字數 17 來查找多項式。可在 GB/T 18284-2000 附錄 A 的糾錯碼字的生成多項式表中查找，也可以使用生成多項式工具建立它，下表 4 只列出小部份內容：

表 4：QR碼符號各版本的糾錯特性

Reed–Solomon 碼的 C# 實現

你們可能會問了，以前生成的糾錯碼字怎麼跟這個多項式除啊？直接除確定是不行的，首先要把查到的多項式轉化爲對應的一組數字。上表查到 17 所對應的生成多項式可轉化爲：[1, 119, 66, 83, 120, 119, 22, 197, 83, 249, 41, 143, 134, 85, 53, 125, 99, 79]。用數據碼字除這組數字所得餘數，就是咱們的糾錯碼字了。固然，這個過程是使用程序來完成的。Reed–Solomon 編碼這篇文章詳細講述瞭如何使用 Python 實現這個功能。我將須要用到的代碼翻譯成了 C#：

using System;

namespace QRHelper
{
    class ECC
    {
        const int PRIM = 0x11d;

        private static byte[] gfExp = new byte[512]; //逆對數(指數)表
        private static byte[] gfLog = new byte[256]; //對數表

        static ECC()
        {
            byte x = 1;
            for (int i = 0; i <= 255; i++)
            {
                gfExp[i] = x;
                gfLog[x] = (byte)i;
                x = Gf_MultNoLUT(x, 2);
            }

            for (int i = 255; i < 512; i++)
            {
                gfExp[i] = gfExp[i - 255];
            }
        }

        //伽羅華域乘法
        private static byte Gf_MultNoLUT(int x, int y)
        {
            int r = 0;
            while (y != 0)
            {
                if ((y & 1) != 0)
                {
                    r ^= x;
                }
                y >>= 1;
                x <<= 1;
                if ((x & 256) != 0)
                {
                    x ^= PRIM;
                }
            }
            return (byte)r;
        }

        //伽羅華域乘法
        private static byte GfMul(byte x, byte y)
        {
            if (x == 0 || y == 0)
            {
                return 0;
            }
            return gfExp[gfLog[x] + gfLog[y]];
        }

        //伽羅華域冪
        private static byte GfPow(byte x, int power)
        {
            return gfExp[(gfLog[x] * power) % 255];
        }

        //多項式 乘法
        private static byte[] GfPolyMul(byte[] p, byte[] q)
        {
            byte[] r = new byte[p.Length + q.Length - 1];
            for (int j = 0; j < q.Length; j++)
            {
                for (int i = 0; i < p.Length; i++)
                {
                    r[i + j] ^= GfMul(p[i], q[j]);
                }
            }
            return r;
        }

        /// <summary>
        /// 獲取糾錯碼字的生成多項式
        /// </summary>
        /// <param name="nsym">糾錯碼字數</param>
        /// <returns>由一組數字表示的生成多項式</returns>
        public static byte[] RsGeneratorPoly(int nsym)
        {
            byte[] g = { 1 };
            for (int i = 0; i < nsym; i++)
            {
                g = GfPolyMul(g, new byte[] { 1, GfPow(2, i) });
            }
            return g;
        }

        /// <summary>
        /// 生成糾錯碼，並添加在數據碼字以後
        /// </summary>
        /// <param name="msgIn">數據碼字</param>
        /// <param name="nsym">糾錯碼字數</param>
        /// <returns>數據碼字+糾錯碼字</returns>
        public static byte[] RsEncodeMsg(byte[] msgIn, int nsym)
        {
            if (msgIn.Length + nsym > 255)
            {
                throw new ArgumentException("數組長度超過 255！");
            }
            //byte[] gen = generators[(byte)nsym];
            byte[] gen = RsGeneratorPoly(nsym);
            byte[] msgOut = new byte[msgIn.Length + gen.Length - 1];
            Array.Copy(msgIn, 0, msgOut, 0, msgIn.Length);

            for (int i = 0; i < msgIn.Length; i++)
            {
                byte coef = msgOut[i];
                if (coef != 0)
                {
                    for (int j = 1; j < gen.Length; j++)
                    {
                        msgOut[i + j] ^= GfMul(gen[j], coef);
                    }
                }
            }
            Array.Copy(msgIn, 0, msgOut, 0, msgIn.Length);

            return msgOut;
        }
    }
}

代碼量是至關少啊！根據不用上網找算法包。在實際開發中，若是須要繪製大量 QR 碼，徹底能夠將全部 31 個生成多項式轉化結果存放在集合中，使用時直接查詢便可得出，這樣能夠大大加快生成速度。上述代碼中的RsGeneratorPoly()方法用於生成多項式，它會產生大量臨時數組。有了代碼，能夠繼續咱們以前的例子了。

【例 1 續 2】：生成完整碼字

以前在【例 1 續 1】中，咱們已經生成了數據碼字：
00010000,00100000,00001100,01010110,01100001,10000000,11101100,00010001,11101100

16 進製表示形式爲：0x10, 0x20, 0x0C, 0x56, 0x61, 0x80, 0xEC, 0x11, 0xEC

接下來使用以下代碼生成完整碼字：

byte[] msgin = { 0x10, 0x20, 0x0C, 0x56, 0x61, 0x80, 0xEC, 0x11, 0xEC };
byte[] msg = ECC.RsEncodeMsg(msgin, 17);

獲得結果：0x10 0x20 0x0C 0x56 0x61 0x80 0xEC 0x11 0xEC 0x0E 0x9D 0x02 0xC8 0xC2 0x94 0xF3 0xA7 0xAD 0x8D 0xE2 0x0A 0xF4 0xA5 0x2B 0xAC 0xDF

以上就是咱們要填入 QR 碼圖案的全部 26 個碼字了。前 9 個爲數據碼字，後 17 個爲糾錯碼字，程序已經幫咱們自動鏈接好了。

構造信息的最終碼字序列

上例中，糾錯的塊數只有 1 塊，只需簡單將數據碼字鏈接糾錯碼字鏈接，組成 1 塊數據便可。而在絕大多數版本中，存在多個糾錯碼塊數。下面講解多塊糾錯碼塊折構造。

以版本 5-H 舉例，查表 3 的版本 5 部分，以下所示：

版本 5-H 碼字共分爲 4 塊，其中 2 塊碼字總數爲 33 個，包括 11 個數據碼字和 22 個糾錯碼字；另 2 塊碼字總數爲 34 個，包括 12 個數據碼字和 22 個糾錯碼字。首先取出數據碼字的前 11 個數據碼字，計算 22 個糾錯碼字，鏈接造成塊 1 數據；再從數據碼字中取 11 個碼字生成塊 2 數據；繼續從數據碼字中取 12 個碼字生成塊 3 數據；將最後 12 個數據碼字取出並生成塊 4 數據。

各塊字符的按下表進行佈置，表中的每一行對應一個塊的數據碼字（表示爲Dn）和相應塊的糾錯碼字（表示爲En）；

版本 5-H 符號的最終碼字序列爲：
D1,D12,D23,D35,D2,D13,D24,D36,...D11,D22,D33,D45,D34,D46,E1,E23,E45,E67,E2,E24,E46,E68,...E22,E44,E66,E88。在某些版本中，須要三、4 或 7 個剩餘位方能填滿編碼區域模塊數，此時需在最後的碼字後面加上剩餘位（0）。

格式信息

格式信息用於存放糾錯等級和掩模信息，是一個 15 數據，由 2位糾錯指示符 + 3位掩模圖形參考 + 10位糾錯碼組成。

格式信息的計算

首先糾錯指示符由 2 個位表示，各糾錯等級所對應的數字見下表5。

糾錯等級	L	M	Q	H
二進制指示符	01	00	11	10

表 5：糾錯等級指示符

掩模圖形參考使用 3 個位表示，由數字 0~7 表示，將其轉換爲 3 位二進制便可，掩模將在稍後介紹，如今你只須要知道佔用 3 個位就好了。

將 2位糾錯指示符 + 3位掩模圖形參考，獲得 5 位數據碼，並使用 BCH(15,5) 編碼計算獲得糾錯碼。

BCH 碼

BCH 碼和 Reed–Solomon 碼相似，能夠參考 Reed–Solomon 編碼這篇文章。Reed–Solomon 碼使用多項式除法得出糾錯碼序列，而 BCH 碼就簡單得多，它按位運算得出糾錯碼。BCH(15,5) 表示 BCH 碼總長度爲 15 位，其中數據碼爲 5 位，糾錯碼 10 位。Reed–Solomon 碼有生成多項式，BCH 碼使用的是生成碼：10100110111。使用數據碼除以生成碼，所得餘數就是糾錯碼。因爲 BCH 碼的運算很簡單，下面演示數據碼 00101 的演算過程。

將數據碼左移 10 位，湊夠 15 位，獲得二進制數字：001010000000000
將上面數字除以 10100110111（0x537），使用長除法，以下圖所示：

上圖中的餘數取 10 位即爲糾錯碼：0011011100

將 5 位數據碼 00101 與糾錯碼相連，即獲得最終格式信息碼：001010011011100（0x14DC）

使用程序實現很是簡單，在ECC類中添加以下代碼：

//生成 BCH 碼
private static int CheckFormat(int fmt)
{
    int g = 0x537;
    for (int i = 4; i >= 0; i--)
    {
        if ((fmt & (1 << (i + 10))) != 0)
        {
            fmt ^= g << i;
        }
    }
    return fmt;
}

/// <summary>
/// 生成 BCH(15,5) 糾錯碼，並返回完整格式信息碼
/// </summary>
/// <param name="data">數據碼</param>
/// <returns>返回完整格式信息碼</returns>
public static int BCH_15_To_5_Encode(int data)
{
    data <<= 10;
    return data ^ CheckFormat(data);
}

使用如下代碼生成完整格式信息碼：

int code = ECC.BCH_15_To_5_Encode(5);

結果爲：5340（0x14DC）

格式信息的掩模

爲確保糾錯等級和掩模圖形參考（稍後介紹）合在一塊兒的結果不全是 0，需將 15 位格式信息與掩模圖形 101010000010010（0x5412）進行異或運算。

格式信息的繪製

QR 碼中有專門的區域繪製格式信息，見下圖：

因爲格式信息的正確譯碼對整個符號的譯相當重要，它會在 QR 碼中繪製兩次以提供冗餘。格式信息的最低位模塊編號爲 0，最高位編號爲 14。爲避免混淆，下表標示了以前生成格式信息與掩模圖形以及二者進行 XOR 運算以後的結果的各個位編號。

左上角繪製區域編號八、9 之間和五、6 之間的深色模塊被定位圖形使用，不用於繪製格式信息。左下角編號 8 上的 Dark Module 永遠爲深色模塊，不用於存聽任何信息。

接下來咱們將 XOR 後的結果繪製到 QR 碼中的格式信息區域，以下圖所示：

圖中綠色區域爲格式信息區域，其中淺綠色表示淺色模塊，深綠色表示深色模塊。

【例 1 續 3】：生成格式信息

接下來我繼續【例 1】，添加格式信息：

以前【例 1】中咱們選擇了糾錯等級爲 H，查表 5，獲得數字：10
假設咱們選擇的掩模圖形參考爲 011，則最終數據碼爲：10011
使用以前的程序將 10011 生成完整格式信息碼：100110111000010（0x4DC2）
將生成的格式信息碼與 101010000010010（0x5412）進行異或運算，結果爲：
001100111010000（0x19D0）
將結果繪製到格式信息區域中，最終結果以下圖所示：

版本信息

版本信息用於存放 QR 碼的版本號。其中，6 位數據位，12 位經過 BCH(18,6) 編碼計算出的糾錯位。只有版本 7~40 的符號包含版本信息。版本 0~6 無需繪製版本號。

版本信息的計算

版本信息的計算和格式信息相似，也是使用長除法。只是這一次使用的生成碼爲：1111100100101（0x1F25）。如下爲 BCH(18,6) 的 C# 代碼：

public static int BCH_18_6_Encode(int data)
{
    int g = 0x1F25;
    int fmt = data << 12;
    for (int i = 5; i >= 0; i--)
    {
        if ((fmt & (1 << (i + 12))) != 0)
        {
            fmt ^= g << i;
        }
    }
    return (data << 12) ^ fmt;
}

下面以版本號 7 爲例，計算版本信息碼：

版本號 7 轉換爲 6 位二進制數據碼：000111
將以上數據碼左移 12 位，湊夠 18 位：000111000000000000
將上面數字除以生成碼 1111100100101（0x1F25），獲得餘數：110010010100
將數據碼與獲得的餘數相連，獲得最終版本信息碼：000111110010010100

與格式信息不一樣，版本信息碼生成後再也不須要單獨進行掩模運算。

版本信息的繪製

因爲版本信息的正確譯碼是整個符號正確譯碼的關鍵，所以版本信息在符號中出現兩次以提供冗餘。第一個存放位置在定位圖形上面，由6行×3列模塊組成，其右緊臨右上角位置探測圖形的分隔符；第二個存放位置在定位圖形左側，其下邊緊臨左下角位置探測圖形的分隔符，以下圖的藍色部分所示：

格式信息的最低位模塊編號爲 0，最高位編號爲 17。接下來咱們將以前計算的版本 7 的版本信息碼繪製到 QR 碼中的版本信息區域。效果以下圖所示，紅色部分爲版本信息，其中，深紅色表明深色模塊，粉紅色表明淺色模塊。：

至此，全部功能圖形以及格式圖形都已經繪製完畢，並已所有顯示在這上圖中。接下來，終於能夠開始繪製數據碼字了。

符號字符的佈置

在 QR 碼符號的編碼區域中，符號字符以 2 個模塊寬的縱列從符號右下角開始佈置，並自右向左，且交替地從下向上或從上向下安排。GB/T 18284-2000 用了很長一段篇幅講解編碼佈置規則，其實很簡單，就是以兩列爲單位向上或向下佈置，列內蛇形走位，遇障礙跳過。爲方便你們學習，我在《QR助手程序》中加入了繪製走位路線的功能，下圖是版本1和版本7的走位路線：

這飄忽不定的神仙步伐，銷魂啊！從右下角開始，延着一條不中斷的線一直到左下角結束，將最終數據碼流從左到右，按這條線的方向佈置在沿途遇到的粉紅色模塊中，即完成符號字符的佈置。相信你們一眼就能看懂。我之因此要實現這個走位路線的繪製功能，一方面是手繪這兩張圖太痛苦了，另外一方面也是爲了方便驗證走位算法是否存在錯誤。

【例 1 續 4】：佈置符號字符

【例 1 續 2】中咱們生成了最終的數據碼字爲：
0x10 0x20 0x0C 0x56 0x61 0x80 0xEC 0x11 0xEC 0x0E 0x9D 0x02 0xC8 0xC2 0x94 0xF3 0xA7 0xAD 0x8D 0xE2 0x0A 0xF4 0xA5 0x2B 0xAC 0xDF

如今終於能夠將其依照以前的路線填入編碼區域中了。效果以下圖所示：

圖中粉紅色模塊就是咱們剛纔填入的數據。終於能夠慶祝一下了，放鬆一下能夠，但不能端酒！事情還沒完！

掩模

QR 碼中若是出現大面積的空白或黑塊，會致使掃描器識別困難。爲了讓 QR 圖形看起來儘量凌亂，且儘量避免位置探測圖形中的位圖 1011101 的出現，需對 QR 圖形進行掩模操做，步驟以下：

掩模不用於功能圖形及格式圖形：尋像圖形、定位圖形、校訂圖形、位置探測圖形分隔符、格式信息和版本信息。
數據碼字與掩模圖形進行 XOR 操做後再進行繪製。
對每一個結果圖形的不合要求的部分記分，以評估這些結果。
選擇得分最低的圖形。

掩模圖形

下表給出了掩模圖形的參考和掩模圖形生成的條件。掩模圖形是經過將編碼區域（不包括格式信息和版本信息）內那些條件爲真的模塊定義爲深色而產生的。所示的條件中，i 表明模塊的行的位置，j 表明模塊的列的位置，（i,j)=(0,0)表明符號中左上角的位置。

掩模圖形參考	條件
000	(i + j) mod 2 = 0
001	i mod 2 = 0
010	j mod 3 = 0
011	(i + j) mod 3 = 0
100	((i/2)+(j/3)) mod 2 = 0
101	(i × j) mod 2 + (i × j) mod 3 = 0
110	((i × j) mod 2 + (i × j) mod 3) mod 2 = 0
111	((i × j) mod 3 + (i + j) mod 2) mod 2 = 0