Greedy algorithm

 維基百科：

https://en.wikipedia.org/wiki/Havel%E2%80%93Hakimi_algorithm

https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Gallai_theorem

 

Given a list of n natural numbers d1, d2,...,dn, show how to decide in polynomial
time whether there exists an undirected graph G = (V, E) whose node degrees
are precisely the numbers d1, d2, · · · , dn. G should not contain multiple edges
between the same pair of nodes, or 「 loop」 edges with both endpoints equal to
the same node.

Havel定理描述
給定一個非負整數序列{d1,d2,...dn}，若存在一個無向圖使得圖中各點的度與此序列一一對應，則稱此序列可圖化。進一步，若圖爲簡單圖，則稱此序列可簡單圖化。


可圖化的斷定比較簡單：d1+d2+...dn=0(mod2)。關於具體圖的構造，咱們能夠簡單地把奇數度的點配對，剩下的所有搞成自環。


可簡單圖化的斷定，有一個Havel定理，是說: 咱們把序列排成不增序，即d1>=d2>=...>=dn，則d可簡單圖化當且僅當d'=(d2-1, d3-1, ... d(d1+1)-1, d(d1+2), d(d1+3), ... dn)可簡單圖化。這個定理寫起來麻煩，實際上就是說，咱們把d排序之後，找出度最大的點(設度爲d1)，把它和度次大的d1個點之間連邊，而後這個點就 能夠無論了，一直繼續這個過程，直到建出完整的圖，或出現負度等明顯不合理的狀況。


定理的簡單證實以下:


(<=)若d'可簡單圖化，咱們只需把原圖中的最大度點和d'中度最大的d1個點連邊便可，易得此圖必爲簡單圖。


(=>)若d可簡單圖化，設獲得的簡單圖爲G。分兩種狀況考慮:


(a)若G中存在邊(V1,V2), (V1,V3), ...(V1,V(d1+1))，則把這些邊除去得簡單圖G'，因而d'可簡單圖化爲G'

(b)若存在點Vi,Vj使得i<j, (V1,Vi)不在G中，但(V1,Vj)在G中。這時，由於di>=dj，必存在k使得(Vi, Vk)在G中但(Vj,Vk)不在G中。這時咱們能夠令GG=G-{(Vi,Vk),(V1,Vj)}+{(Vk,Vj),(V1,Vi)}。GG的度序 列仍爲d，咱們又回到了狀況(a)。

 

 

 

（如下演示轉自 「天天進步一點點」 博客: http://sbp810050504.blog.51cto.com/2799422/883904）

 

 

 

Havel-Hakimi定理很容易理解：

 

三步走就能夠了：

 

好比序列：4 7 7 3 3 3 2 1

 

 

 

下標	1	2	3	4	5	6	7	8
值	4	7	7	3	3	3	2	1

 

 

 

 

 

第一步：把序列按降序排序。

 

 

 

下標	1	2	3	4	5	6	7	8
值	7	7	4	3	3	3	2	1

 

 

 

 

 

第二步：刪除第一個數7。序列變成

 

 

 

下標	1	2	3	4	5	6	7
值	7	4	3	3	3	2	1

 

 

 

 

 

第三步：從頭開始，數7個數，也就是下標：[1,7]把[1,7]區間裏的值都減1

 

因爲第一個數已經刪除，那麼序列變成這樣的了：

 

 

 

下標	1	2	3	4	5	6	7
值	6	3	2	2	2	1	0

 

 

 

而後：

 

重複第一步：排序。

 

重複第二步：刪除第一個數6

 

重複第三步：從頭開始數6個數：也就是下標【1,6】，把區間【1，6】中的數刪除。序列變成：

 

 

 

下標	1	2	3	4	5	6
值	2	1	1	1	0	-1

 

 

 

因爲已經出現了-1，而一個點的邊數（度）不可能爲負數。因此，咱們就能夠斷定序列沒法構成一個圖，因此此序列是不可圖的。

 

下面再舉一個例子：

 

已經排序：

 

 

 

5

4

3

3

2

2

2

1

1

1.

 

 

 

刪除第一個數5：

 

 

 

4

3

3

2

2

2

1

1

1.

 

 

 

 

 

把前面5個數減1：

 

 

 

3

2

2

1

1

2

1

1

1.

 

 

 

排序：

 

 

 

3

2

2

2

1

1

1

1

1.

 

 

 

刪除第一個數3：

 

 

 

 

 

2

2

2

1

1

1

1

1.

 

 

 

把前面3個數減1：

 

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1.

 

 

 

排序：

 

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1.

 

 

 

刪除第一個數1：

 

 

 

1

1

1

1

1

1

1.

 

 

 

把前面1個數減1：

 

 

 

0

1

1

1

1

1

1.

 

 

 

排序：

 

 

 

1

1

1

1

1

1

0

 

 

 

刪除第一個數1：

 

 

 

1

1

1

1

1

0

 

 

 

把前面1個數減1：

 

 

 

0

1

1

1

1

0

 

 

 

排序：

 

 

 

1

1

1

1

0

0

 

 

 

              

 

依此類推：到最後只剩下：

 

 

 

0

0

0

0

 

 

 

由此判斷該序列是可圖的。

 

 

核心代碼：

 

bool Havel_Hakimi(){
    for(int i=0; i<n-1; ++i){
        sort(arr+i,arr+n,greater<int>());
        if(i+arr[i] >= n) return false;
        for(int j=i+1; j<=i+arr[i] ; ++j){
            --arr[j];
            if(arr[j] < 0) return false;
        }
    }
    if(arr[n-1]!=0) return false;
    return true;
}