leetocode 207 課程表

解題思路：

本題可約化爲：課程安排圖是不是 有向無環圖(DAG)。即課程間規定了前置條件，但不能構成任何環路，不然課程前置條件將不成立。
思路是經過 拓撲排序 判斷此課程安排圖是不是 有向無環圖(DAG)。
拓撲排序是對 DAG 的頂點進行排序，使得對每一條有向邊 (u, v)，均有 u（在排序記錄中）比 v 先出現。亦可理解爲對某點 v而言，只有當 v 的全部源點均出現了，v才能出現。
經過課程前置條件列表 prerequisites 能夠獲得課程安排圖的 鄰接矩陣 adjacency，如下兩種方法都會用到鄰接矩陣。

方法1：入度表（廣度優先遍歷）

算法流程：

統計課程安排圖中每一個節點的入度，生成 入度表 indegrees。
藉助一個隊列 queue，將全部入度爲 00 的節點入隊。
當 queue 非空時，依次將隊首節點出隊，在課程安排圖中刪除此節點 pre：
並非真正從鄰接表中刪除此節點 pre，而是將此節點對應全部鄰接節點 cur 的入度 -1，即 indegrees[cur] -= 1。
當入度 -1後鄰接節點 cur 的入度爲 00，說明 cur 全部的前驅節點已經被 「刪除」，此時將 cur 入隊。
在每次 pre 出隊時，執行 numCourses--；
若整個課程安排圖是有向無環圖（便可以安排），則全部節點必定都入隊並出隊過，即完成拓撲排序。換個角度說，若課程安排圖中存在環，必定有節點的入度始終不爲 0。
所以，拓撲排序出隊次數等於課程個數，返回 numCourses == 0 判斷課程是否能夠成功安排。

複雜度分析：

時間複雜度 O(N + M)，遍歷一個圖須要訪問全部節點和全部臨邊，N 和 M分別爲節點數量和臨邊數量；
空間複雜度 O(N)，爲創建鄰接矩陣所需額外空間

class Solution {
 public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    int[] indegrees = new int[numCourses];
    for(int[] cp : prerequisites) indegrees[cp[0]]++;
    LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
    for(int i = 0; i < numCourses; i++){
        if(indegrees[i] == 0) queue.addLast(i);
    }
    while(!queue.isEmpty()) {
        Integer pre = queue.removeFirst();
        numCourses--;
        for(int[] req : prerequisites) {
            if(req[1] != pre) continue;
            if(--indegrees[req[0]] == 0) queue.add(req[0]);
        }
    }
    return numCourses == 0;
}

}

方法2：深度優先遍歷

算法流程（思路是經過 DFS 判斷圖中是否有環）：
藉助一個標誌列表 flags，用於判斷每一個節點 i （課程）的狀態：
未被 DFS 訪問：i == 0；
已被其餘節點啓動的DFS訪問：i == -1；
已被當前節點啓動的DFS訪問：i == 1。
對 numCourses 個節點依次執行 DFS，判斷每一個節點起步 DFS 是否存在環，若存在環直接返回 False。DFS 流程；
終止條件：
當 flag[i] == -1，說明當前訪問節點已被其餘節點啓動的 DFS 訪問，無需再重複搜索，直接返回 True。
當 flag[i] == 1，說明在本輪 DFS 搜索中節點 i 被第 2次訪問，即 課程安排圖有環，直接返回 False。
將當前訪問節點 i 對應 flag[i] 置 1，即標記其被本輪 DFS 訪問過；
遞歸訪問當前節點 i 的全部鄰接節點 j，當發現環直接返回 False；
當前節點全部鄰接節點已被遍歷，並無發現環，則將當前節點 flag 置爲 -1 並返回 True。
若整個圖 DFS 結束並未發現環，返回 True。
複雜度分析：
時間複雜度 O(N + M)：遍歷一個圖須要訪問全部節點和全部臨邊，N 和 M分別爲節點數量和臨邊數量；
空間複雜度 O(N)，爲創建鄰接矩陣所需額外空間。

class Solution {
public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
    int[][] adjacency = new int[numCourses][numCourses];
    int[] flags = new int[numCourses];
    for(int[] cp : prerequisites)
        adjacency[cp[1]][cp[0]] = 1;
    for(int i = 0; i < numCourses; i++){
        if(!dfs(adjacency, flags, i)) return false;
    }
    return true;
}
private boolean dfs(int[][] adjacency, int[] flags, int i) {
    if(flags[i] == 1) return false;
    if(flags[i] == -1) return true;
    flags[i] = 1;
    for(int j = 0; j < adjacency.length; j++) {
        if(adjacency[i][j] == 1 && !dfs(adjacency, flags, j)) return false;
    }
    flags[i] = -1;
    return true;
}

}