珂朵莉樹詳解

時間 2019-11-09

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原文原文鏈接

〇、珂朵莉美圖欣賞

中國珂學院：https://www.chtholly.ac.cn/html

別看了，開始正題

1、什麼是珂朵莉樹

珂朵莉樹，又稱Old Driver Tree(ODT)~~（老司機樹）~~。node

是一種基於std::set的暴力數據結構。c++

2、何時用珂朵莉樹

使一整段區間內的東西變得同樣，數據隨機。數據結構

如下以CF896C爲板子來介紹珂朵莉樹。less

連接：https://www.luogu.org/problemnew/show/CF896Cspa

n 個數， m 次操做 (n,m<=10^5) 。3d

操做：code

1.區間加 2.區間賦值htm

3.區間第k小 4.求區間冪次和blog

數據隨機，時限2s。

3、珂朵莉樹的初始化

這道題裏，這樣定義珂朵莉樹的節點：

struct node
{
    int l,r; //範圍
    mutable LL v; //數值
    node(int L, int R=-1, LL V=0):l(L), r(R), v(V) {}
    bool operator<(const node& o) const     //重載運算符
    {
        return l < o.l;
    }
};

表示【l,r】這一個區間中全部的數都是v。

初始化就這麼多~~（讀入我就不講了（開一個set裏存node，node根據輸入而定））（逃~ ）~~

4、珂朵莉樹的核心操做：split

實際很簡單，一個集合中，有一部分須要修改，而另外一部分不須要修改，就把集合拆開，拆成兩部分。（要修改的就修改，不修改的就算了~~（大霧）~~）

#define IT set<node>::iterator  //太長了

IT split(int pos)
{
    IT it = s.lower_bound(node(pos));   //找到首個不小於pos的set
    if (it != s.end() && it->l == pos)   //無需，直接返回
        return it;
    --it;  //不然必定在前一個區間中
    int L = it->l, R = it->r;  //【l,r】就是要分裂的區間
    LL V = it->v;  //取出值
    s.erase(it);   //刪除原集合
    s.insert(node(L, pos-1, V));  //構建前半段的新結合
    return s.insert(node(pos, R, V)).first;  //構建後半段的新集合而且返回地址
}

5、珂朵莉樹的推平操做：assign_val

upd：感謝自爲風月馬前卒大佬的提醒，如下全部代碼中split的順序應該是先split(r+1),再split(l)

要是隻有split還不得複雜度爆炸？咱們須要assign操做迅速減小set的數量。

void assign_val(int l, int r, LL val)
{
    IT itl = split(l),itr = split(r+1);  //求出要被攤平區間的收尾地址
    s.erase(itl, itr);  //刪除原集合
    s.insert(node(l, r, val));  //添加新集合
}

珂朵莉樹的複雜度是由assign_val保證的。

因爲數據隨機，有1/4的操做爲assign。

set的大小快速降低，最終趨於logn ，使得這種看似暴力無比的數據結構複雜度接近mlogn 。

其餘操做（暴力霧）

1.區間加

void add(int l, int r, LL val)
{
    IT itl = split(l),itr = split(r+1);
    for (; itl != itr; ++itl) 
        itl->v += val;
}

反正就是找到對應集合暴力一加（有點像分塊）

2.區間第k小

LL rank(int l, int r, int k)
{
    vector<pair<LL, int> > vp;
    IT itl = split(l),itr = split(r+1);
    vp.clear();
    for (; itl != itr; ++itl)
        vp.push_back(pair<LL,int>(itl->v, itl->r - itl->l + 1));
    sort(vp.begin(), vp.end());
    for (vector<pair<LL,int> >::iterator it=vp.begin();it!=vp.end();++it)
    {
        k -= it->second;
        if (k <= 0) 
            return it->first;
    }
}

把元素取出，暴力排序，暴力查找第k小，結束（記得不要忘乘上集合裏的個數）！！！

3.區間冪次和

LL pown(LL a, LL b, LL mod)
{
    LL res = 1;
    LL ans = a % mod;
    while (b)
    {
        if (b&1) 
            res = res * ans % mod;
        ans = ans * ans % mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

LL sum(int l, int r, int ex, int mod)
{
    IT itl = split(l),itr = split(r+1);
    LL res = 0;
    for (; itl != itr; ++itl)
        res = (res + (LL)(itl->r - itl->l + 1) * pown(itl->v, LL(ex), LL(mod))) % mod;
    return res;
}

暴力找到元素，快速冪，加入答案，結束（記得不要忘乘上集合裏的個數）！！！

7、完整程序(已upd)

沒什麼可說的

上代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define IT set<node>::iterator
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD7 = 1e9 + 7;
const int MOD9 = 1e9 + 9;
const int imax_n = 1e5 + 7;
struct node
{
    int l,r;
    mutable LL v;
    node(int L, int R=-1, LL V=0):l(L), r(R), v(V) {}
    bool operator<(const node& o) const
    {
        return l < o.l;
    }
};
LL pown(LL a, LL b, LL mod)
{
    LL res = 1;
    LL ans = a % mod;
    while (b)
    {
        if (b&1) 
            res = res * ans % mod;
        ans = ans * ans % mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
set<node> s;
IT split(int pos)
{
    IT it = s.lower_bound(node(pos));
    if (it != s.end() && it->l == pos) 
        return it;
    --it;
    int L = it->l, R = it->r;
    LL V = it->v;
    s.erase(it);
    s.insert(node(L, pos-1, V));
    return s.insert(node(pos, R, V)).first;
}
void add(int l, int r, LL val)
{
    IT itr = split(r+1),itl = split(l);
    for (; itl != itr; ++itl) 
        itl->v += val;
}
void assign_val(int l, int r, LL val)
{
    IT itr = split(r+1),itl = split(l);
    s.erase(itl, itr);
    s.insert(node(l, r, val));
}
LL ranks(int l, int r, int k)
{
    vector<pair<LL, int> > vp;
    IT itr = split(r+1),itl = split(l);
    vp.clear();
    for (; itl != itr; ++itl)
        vp.push_back(pair<LL,int>(itl->v, itl->r - itl->l + 1));
    sort(vp.begin(), vp.end());
    for (vector<pair<LL,int> >::iterator it=vp.begin();it!=vp.end();++it)
    {
        k -= it->second;
        if (k <= 0) 
            return it->first;
    }
}
LL sum(int l, int r, int ex, int mod)
{
    IT itr = split(r+1),itl = split(l);
    LL res = 0;
    for (; itl != itr; ++itl)
        res = (res + (LL)(itl->r - itl->l + 1) * pown(itl->v, LL(ex), LL(mod))) % mod;
    return res;
}
int n, m;
LL seed, vmax;
LL rd()
{
    LL ret = seed;
    seed = (seed * 7 + 13) % MOD7;
    return ret;
}
LL a[imax_n];
int main()
{
    cin>>n>>m>>seed>>vmax;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        a[i] = (rd() % vmax) + 1;
        s.insert(node(i,i,a[i]));
    }
    s.insert(node(n+1, n+1, 0));
    int lines = 0;
    for (int i =1; i <= m; ++i)
    {
        int op = int(rd() % 4) + 1;
        int l = int(rd() % n) + 1;
        int r = int(rd() % n) + 1;
        if (l > r)
            swap(l,r);
        int x, y;
        if (op == 3)
            x = int(rd() % (r-l+1)) + 1;
        else
            x = int(rd() % vmax) +1;
        if (op == 4)
            y = int(rd() % vmax) + 1;
        if (op == 1)
            add(l, r, LL(x));
        else if (op == 2)
            assign_val(l, r, LL(x));
        else if (op == 3)
            cout<<ranks(l,r,x)<<endl;
        else
            cout<<sum(l,r,x,y)<<endl;
    }
    return 0;
}