常微分方程邊值問題：譜方法

　　譜方法(Spectral Method)是配點法(Collocation Method)的一種。通常來講，配點法包括有限元方法(Finite Element)和譜方法(Spectral Method)。配點法的通常思路是：選取合適的函數基底，這些函數基底的導數都是已知的，求得疊加係數，將這些函數基底的組合做爲邊界條件下常微分方程的近似解。其中，有限元方法選用的函數基底是局域的(localized support)，即這些基底每每只在局部幾個點處非零，好比B-樣條；而譜方法選用的函數基底是全域的(global support)，即這些基底在整個實數域上大部分非零，好比多項式和三角函數。

　　對於一個線性常係數的常微分方程，通常均可以求得解析解的；可是對於線性但很是係數的情形，解析解不容易求。有的能夠用特殊的換元方法（好比歐拉方程），有的必須用泰勒級數或者洛朗級數展開的方法求解，這種解通常也不會是初等函數，而是特殊函數/無窮級數這一類。不過只要是線性方程，使用譜方法求解總能化成線性方程組，所以特別簡單。具體地說：

1. 線性常微分方程邊值問題+以多項式爲基底的譜方法

　　常微分方程：$f(y^{(m)}, y^{(m-1)}, ..., y^{(3)}, y'', y',y, t)=0$ ，其中 $f$ 關於 $y$ 的任意階的導數都是線性的，即全部導數（包括零階的原函數）的冪次都是1，全部項的次數也都是1。像這樣的線性形式，咱們或者也能夠寫成：$A_m(t)y^{(m)}+A_{m-1}(t)y^{(m-1)}+...+A_2(t)y''+A_1(t)y'+A_0(t)y+A(t)=0$ 。

　　若是選擇在兩個上下界之中插入k個點進行配點，則總計配點個數爲k+2=n，咱們預計用這n個點的信息產生n個方程，此時能夠肯定含有n個未定參數的解析式，所以設：$\hat{y}(t)=x_0+x_1t+x_2t^2+...+x_{n-1}t^{n-1}$ ，並用它做爲 $y(t)$ 的估計值。這樣一來，$\hat{y}(t)$ 的任意階導數老是很容易求得的，它就是： $$\hat{y}^{(k)}(t)=\sum\limits_{i\geq k}^{n-1}P_i^kx_it^{i-k}=\sum\limits_{i\geq k}^{n-1}\frac{i!}{(i-k)!}x_it^{i-k}$$　　以上僅僅是一個最通常的表達式，事實上在使用過程當中很是高階的導數是很罕見的（至少在絕大多數物理問題中），最高階爲2是最爲常見的，這些情形下 $y(t)$ 的導數的表達式都很簡單。

　　如今，咱們擁有了能夠求任意階導數的估計值 $\hat{y}(t)$ 的表達式，其中有n個未定參數 $x_i$ ，咱們設上下界分別是 $t_1$ 和 $t_n$ ，而後能夠在區間內選取n-2個點 $t_2, t_3, ..., t_{n-1}$ 。咱們將用這n個點（配點）和 估計值$\hat{y}(t)$ 的表達式，將線性的微分方程寫成一個線性的代數方程。咱們記：

$$f(y^{(m)}, ... y'', y', y, t)=0\quad \Rightarrow \quad A_m(t)\hat{y}^{(m)}(t)+...A_2(t)\hat{y}''(t)+A_1(t)\hat{y}'(t)+A_0(t)\hat{y}(t)+A(t)=\sum\limits_{k=0}^mA_k(t)\hat{y}^{(k)}(t)+A(t)=0$$　　只須要在n個配點上分別把 $t=t_i$ 和 $\hat{y}^{(m)}(t)$ 的導數形式帶入方程就能夠了。咱們獲得：

$$\sum\limits_{k=0}^mA_k(t)\hat{y}^{(k)}(t)+A(t)=\sum\limits_{k=0}^mA_k(t)\sum\limits_{j\geq k}^{n-1}P_j^kx_jt^{j-k}=\sum\limits_{k=0}^m\sum\limits_{j\geq k}^{n-1}x_jA_k(t)P_j^kt^{j-k}=0$$　　代入n個配點$t_i$ 就獲得了關於 $x_j$ 的線性方程組：$$\sum\limits_{k=0}^m\sum\limits_{j\geq k}^{n-1}A_k(t_i)P_j^kt_i^{j-k}x_j=0$$　　這裏除了 $x_j$ 之外，其餘全部數據都是已知量（或者能夠直接求出）；同時關於 $x_j$ 均爲一次關係，爲關於 $x_j$ 的線性方程組。利用解線性方程組的方法求得 $x_j$ 後，就能夠獲得關於t的微分方程解的估計值表達式：$$\hat{y}(t)=\sum\limits_{k=0}^nx_kt^k$$

 固然，譜方法主要用於求解偏微分方程。