數據結構（構造連通網的最小生成樹）

普利姆算法

　　形象問題：幾個村莊之間有N條路，要再路邊修下水管道，求在那些路上修管道能在所有村莊連通的基礎上使修的管道最短

　　中心思想：從一個頂點逐漸鏈接到所有頂點；在鏈接過程當中找權最小的邊加入生成樹中

方法

• 規定從第一個結點出發，找到鏈接的邊中權最小的
• 將這條邊加入生成樹中
• 循環①，②步，不斷找到鏈接一個頂點的權最小的邊，直到鏈接玩所有頂點
• 頂點和這些邊就構成了連通網的最小生成樹

 1 //G是一個圖結構體：
 2 //numVertexes：頂點個數
 3 //arc:鄰接矩陣
 4 void MinSpanTree_prim(MGraph G){
 5     int min , i , j , k;
 6     int adjvax[MAXVEX];//到該位置對應頂點的最短路徑的邊的另外一個頂點【方便找到邊後打印這條邊的兩個頂點下標】
 7     int lowcost[MAXVEX];//鏈接到下標對應頂點的邊的最小權【爲0表示已經找到；INFINITY表示還沒找到；其餘表示：目前爲止的值】
 8             //既然說是目前爲止，是由於之後鏈接到其餘頂點，還會添加可選擇的邊；在這些新加的邊中可能會刷新鏈接它的邊的權最小記錄
 9 
10     lowcost[0]=0;//第一個頂點做爲最小生成樹的根，權直接爲0
11     adjvax[0]=0;//第一個頂點先加入
12 
13     //初始化操做
14     for(i=1;i<G.numVertexes;i++){
15         lowcost[i]=G.arc[0][i];//將鄰接矩陣第0行全部權值加入數組（從第一個頂點開始到其餘頂點的權）
16         adjvax[i]=0;//初始化所有爲第一個頂點的下標
17     }
18 
19     //開始構建最下生成樹
20     for(i=1;i<G.numVertexes;i++){//鏈接N個頂點，找N-1條邊，分別從一個頂點找到其餘N-1個頂點
21         min = INFINITY;//記錄最小權值；初始化爲65535；
22         j=1;//循環使用的索引值
23         k=0;//記錄此次鏈接到的頂點的下標
24 
25         //遍歷所有頂點
26         while(j<G.numVertexes){//找到可鏈接的最小權
27             if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j]<min){
28                 min=lowcost[j];
29                 k=j;//將找到的最小權值下標存入k;
30             }
31             j++;
32         }
33 
34         printf("(%d,%d)  ",adjcex[k],k);//打印當前頂點邊中權值最小的邊；adjcex[k]，邊的起始下標；k,當前位置
35         lowcost[k]=0;//將當前頂點的權值設置爲0，表示此頂點已經鏈接到生成樹中，繼續進行鏈接下一個頂點
36 
37         //鄰接矩陣k行逐個遍歷所有頂點
38         for(j=1;j<G.numVertexes;j++){
39             if(lowcost[j]!=0 && G.[k][j] < lowcost[j]){
40                 lowcost[j]=G.arc[k][j];//剛剛鏈接的頂點下標k，鏈接到j位置頂點的權小於原先鏈接到j位置的權；那麼就刷新鏈接他的最小權
41                 adjvax[j]=k;//將刷新鏈接j位置最小權的頂點的下標記錄到adjvax數組j位置下；利用該值打印這條權最小記錄的邊:（adjvax[k],k）
42             }
43         }
44     }
45 }

克魯斯卡爾算法

　　直接去找權最小的邊來構建生成樹（構建過程當中只要避免構成環便可）

方法

• 將圖中全部邊以權排序成邊集，圖中頂點去掉所有邊（構成樹林）
• 遍歷邊集數組，檢測每條邊依附的兩頂點是否在同一顆樹中【不在的話鏈接兩頂點(樹)組成一顆樹；若在鏈接後就會構成環，因此捨棄這種邊】
• 遍歷完邊集數組時就構造出了最小生成樹

 1 int find(int *parent,int f){
 2     while(parent[f]>0){
 3         f=parent[f];
 4     }
 5     return f;
 6 }
 7 //parent數組：存儲當前位置對應頂點在一棵樹上的另外一個頂點的對應下標
 8     //因此剛開始時，存儲下標對應的頂點是與自身位置對應頂點是直接相連的
 9     //當這個位置構建最小生成樹會直接相連一個頂點以上時，那麼下一個鏈接頂點下標會存儲在第一個鏈接下標頂點對應位置
10     //例如:0下標頂點構建最小生成樹時會鏈接1下標和3下標兩個頂點對應位置頂點；那麼：parent[0]=1;parent[1]=3;或者parent[0]=3;parent[3]=1
11 //總之parent數組中將同一顆樹頂點的下標利用相似鏈表的方法鏈接在一塊兒；
12     //給f傳入一顆樹任意頂點對應的下標返回的值（x）都是同樣的；而且在parent[x]這個位置是存放這顆樹下一次新加的頂點下標的
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14 //Kruskal算法生成最小生成樹
15 void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G){
16     int i,n,m;
17     Edge edges[MAGEDGE];//定義邊集數組
18     int parent[MAGEDGE];//定義parent數組用來判斷邊與邊是否造成環路
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20     for(i=0;i<G.numVertexes;i++){
21         parent[i]=0;
22     }
23     for(i=0;i<G.numEdges;i++){
24         //edges:邊集數組；邊的結構：begin，起點；end,終點；weight，這條邊的權
25         //n獲得的是edges[i].begin這個下標所屬樹下一次新加頂點下標在prent數組中存儲位置
26         //m獲得的值也有edges[i].end頂點所屬樹的相同做用
27         //因此m==n就說明兩頂點屬於同一顆樹（已經間接鏈接了，不須要再重複直接鏈接了；也就是不要造成環路）
28         //只有所屬不一樣樹時才同時有添加的能力，合併兩棵樹至關於要用掉一棵樹的添加能力，合併後的數的添加能力就要原先被添加樹承擔
29         n=find(parent,edges[i].begin);
30         m=find(parent,edges[i].end);
31         if(n!=m){//若是n==m,則造成環路
32             parent[n]=m;//將此邊的結尾頂點放入下標起點的parent數組中，表示此頂點已經在生成樹集合中
33             printf("(%d,%d)%d  ",edges[i].begin,edges[i].end,edges[i].weight);
34         }
35     }
36 }