地圖投影簡明筆記

原文見個人博客主站，，歡迎你們過去評論。

地圖投影，是將地球表面投影到地圖平面的過程，將地理座標轉換爲平面直角座標的過程。由於畢業論文須要，我從新回顧了一下地圖投影的知識而且做了比較全面且簡潔的總結。若是你以前未系統瞭解過地圖投影，又對地圖投影感興趣，這篇博文也許能成爲一篇簡潔務實的閱讀材料。

還有，這篇文章就不考慮大地基準面了，直接把地球當作一個完美的球體來看待。還有，本篇只介紹最基本的三種投影，方位、圓柱、圓錐投影，更多的投影基本是在這三種投影的基礎上派生出來的，在瞭解這三種投影的基礎上，去學習和實現其餘的派生投影，會比較輕鬆。

首先看三種最基本的投影系列，方位投影、圓柱投影和圓錐投影。每種投影都按照等面積，等距離，等角和正軸，橫軸，斜軸或者其餘的性質分紅小類。下圖顯示了方位投影，圓錐投影和圓柱投影的基本樣式。

介紹三種投影時，我**只涉及正軸投影**。橫軸與斜軸投影轉正軸的方法，會在三種投影結束後介紹。

方位投影

方位投影將球面座標（經度，緯度）投影到極座標（半徑，方向）上，並且知足球面經度等於極座標中的方向。其最基本的形式爲：

$$\begin{matrix}\rho = f(\psi )\ \delta =\lambda \end{matrix}$$

等式左側的ρ和δ爲投影后的極座標，右側的φ和λ爲緯度和經度，函數f的形式與形變性質有關。

將極座標轉換爲直角座標很簡單：

$$\begin{matrix}x=\rho\cos\delta\ y=\rho\sin\delta\end{matrix}$$

另外，還有一些約定，好比R表示地球半徑，他基本會出如今投影公式中（不用擔憂地圖和地球同樣大，咱們還有比例尺）。還有，d(式子)表示微元，還有西經和南緯都用負值表示，這樣緯度區間爲[-π/2,π/2]，經度區間爲[-π,π]。

方位投影中的切投影或割投影區別只在一個比例尺，因此都做爲切投影來處理。

在肯定函數f以前，首先要求算兩個參數，就是經線上的長度比m，和緯線上的長度比n。（長度比就是投影后的長度比投影前的長度）。

$$\begin{matrix}m=\frac{d\rho}{R\cdot d(\pi/2-\delta)}\ n=\frac{\rho d\delta}{R\sin(\pi/2-\delta)\cdot d \lambda}\end{matrix}$$

等面積方位投影

等面積的條件是：

$$m\cdot n=1$$

$$\rho d\rho=R^2\sin(\pi/2-\psi)d(\pi/2-\psi)$$

積分：

$$\int\rho d\rho=R^2\int \sin(\pi/2-\psi)d(\pi/2-\psi)$$

得

$$\rho=C-R^2\cos(\pi/2-\psi)$$

C爲積分常數，配合邊界條件，φ=π/2時ρ=0（若是想投影南極，那就φ=-π/2時ρ=0），求得：

$$\rho=2R\sin\frac{\pi/2-\psi}{2}$$

這就是等面積方位投影的函數f。

等距離方位投影

注意這裏等距離只是指經線上等距離。若是想緯線上等距離，那隻能顯示北半球，南半球的緯線圈確定比赤道小，可是若是用方位投影，南半球的緯圈在外側，不可能比赤道小。在北半球，經線上等距離和緯線上等距離不可能同時達到，二者均可以獨立地導出互相矛盾的函數f。

等距離的條件是：

$$m=1$$

可導出：

$$\rho=R(\pi/2-\psi)$$

這就是等距離方位投影的函數f。

等角方位投影

等角的條件是：

$$m=n$$

可導出

$$\rho=2R\tan\frac{\pi/2-\psi}{2}$$

這就是等角方位投影的函數f。

通常狀況：透視投影

上述只是一些有着特殊性質的方位投影，事實上，在南北極軸上（也就是垂直於投影面的軸）任意取一個點O，利用透視的方法，將球上每個點P投影到OP與投影面交點上，都是一個方位投影。好比，等角方位投影就是點O在南極點的投影。

點O在無限遠時的方位投影，即正射投影，可用來模擬顯示三維地球，其公式爲：

$$\rho=R\cos(\psi)$$

點O在地球球心時的投影，即球心投影，其公式爲：

$$\rho=R\cot(\psi)$$

使用極軸上的點O進行投影，並非方位投影的定義。任何符合條件（f(0)=0且在區間0~x之間單調遞增）的函數f，就會有一個方位投影與之對應。

---

圓柱投影

正軸圓柱投影將球面投影到二維直角座標上，並且知足投影后經線與y軸平行，緯線與x軸平行。最基本的形式爲：

$$\begin{matrix}y = f(\psi )\ x =c\lambda \end{matrix}$$

經線和緯線方向的長度比m和n分別爲：

$$\begin{matrix}m=\frac{dy}{Rd\psi}\ n=\frac{dx}{R\cos{\psi}d\lambda}=\frac{c}{Rcos{\psi}}\end{matrix}$$

仍是根據等角，等面積和等距離的條件，積分求算不一樣條件的投影公式。

等角圓柱投影：

$$y=c\ln \tan(\pi/4+\psi/2)$$

該投影又稱墨卡託投影，因爲其等角特性，在航海圖中應用十分普遍。墨卡託投影也是諸多瓦片式Web地圖使用的投影，好比Google地圖。該投影沒法顯示極點附近區域，由於在緯度爲-π/2或π/2附近時，y趨向負無窮或正無窮。

等面積圓柱投影：

$$y=R\sin\psi$$

$$c=R$$

等距離圓柱投影（也是指經線上等距離）：

$$y=R\psi$$

$$c=R$$

更加通常的表述是，在赤道面上任取一點O，點O將一條經線由球面上，投影到經線所在的子午面與投影圓柱面的交線上。讓O點在赤道面上圍繞地心旋轉2π，就能夠將整個地球投影到圓柱面上了。

球面透視切投影，所謂球面透視，就是點O與球心的距離爲地球的半徑：

$$y=2R\tan\frac{\psi}{2}$$

$$c=R$$

球面透視割投影（ψk和-ψk緯線割，若是ψk=π/4，就是高爾投影）：

$$y=R(1+\cos{\psi_k})\tan\frac{\psi}{2}$$

$$c=R\cos{\psi_k}$$

---

圓錐投影

圓錐投影的通常形式（極座標），其中σ爲圓錐常數，即圓錐展開後的扇形角度比上2π：

$$\begin{matrix}\rho = f(\psi )\ \delta =\sigma\lambda \end{matrix}$$

經線長度比m和緯線長度比n爲

$$\begin{matrix}m = -\frac{d\rho}{Rd\psi}\ \frac{\sigma\rho}{R\cos\psi} \end{matrix}$$

等角圓錐投影：

$$\rho=\frac{K}{\tan^\sigma(\pi/4+\psi/2)}$$

K和σ依賴於投影更具體的性質：

單標準緯線ψ0的等角圓錐投影（即緯度ψ0處的緯線長度比爲1），圓錐面切於這條緯線：

$$K=\frac{R\cos{\psi_0}\tan^\sigma(\pi/4+\psi/2)}{\sigma}$$

$$\sigma=\sin{\psi_0}$$

雙標準緯線等角切投影（即緯度ψ1和ψ2處長度無變形），圓錐面割於這兩條緯線：

$$K=\frac{R\cos{\psi_1}\tan^\sigma(\pi/4+\psi/2)}{\sigma}$$

$$\sigma=\frac{\lg (R\cos{\psi_1})-\lg(R\cos{\psi_2})}{\lg(\tan{\pi/4+\psi_2/2})-\lg(\tan{\pi/4+\psi_1/2})}$$

等面積圓錐投影

$$\rho=(\frac{2R^2}{\sigma}(K-\sin\psi))^{\frac{1}{2}}$$

切圓錐投影，切於ψ0：

$$K=\frac{1}{2}(\csc{\psi_0}+\sin{\psi_0})$$

$$\sigma=\sin{\psi_0}$$

割圓錐投影，割於ψ1和ψ2：

$$K=\frac{\sin{\psi_1}\cos^2{\psi_2}-\sin{\psi_2}\cos^2{\psi_2}}{\cos^2{\psi_2}-\cos^2{\psi_1}}$$

$$\sigma=\frac{\cos^2{\psi_2}-\cos^2{\psi_1}}{2(\sin{\psi_1}-\sin{\psi_2})}$$

等距離圓錐投影

$$\rho=K-R\rho$$

切圓錐投影，切於ψ0：

$$K=R\cot{\psi_0}+R\psi_0$$

$$\sigma=\sin{\psi_0}$$

割圓錐投影，割於ψ1和ψ2：

$$K=\frac{R\cos{\psi_1}}{\sigma}+R\psi_1$$

$$\sigma=\frac{\cos{\psi_2}-\cos{\psi_1}}{\psi_1-\psi_2}$$

---

正軸座標轉橫軸，斜軸座標

以方位投影爲例，南北極軸是與投影面垂直。若是讓任意一個軸與投影面垂直，那麼就能夠獲得橫軸或斜軸投影。那麼，就只須要將點K的地理座標(λ,ψ)轉換爲新極點Q(λ0,ψ0)下的球面極座標(a,Z)，而後按照正軸投影處理就能夠了，如圖所示，點P爲北極點。

根據邊QK的餘弦定理可導出：

$$\cos Z=\sin\psi\sin{\psi_0}+\cos\psi\cos{\psi_0}\cos(\lambda - \lambda_0)$$

因爲Z在0~π區間內，因此能夠直接求出Z。

以QP做爲換算後球面極座標系下的「本初子午線」，求α：

根據邊正弦和鄰角餘弦之積的定理，有：

$$\sin Z\cos \alpha = \sin\psi\cos{\psi_0}-\cos\psi\sin{\psi_0}\cos(\lambda - \lambda_0)$$

根據正弦定理：

$$\sin Z\sin\alpha=\cos\psi\sin(\lambda - \lambda_0)$$

這樣，就能夠將地理座標轉換爲指定極點的球面極座標了。得到的極座標中Z能夠很方便地轉化（ψ=π/4-Z）爲等效的「緯度」，以帶入正軸投影公式。