玩轉地圖投影公式，經過例題對蘭伯特投影與墨卡託投影求取正反解

     hello~~今天yogurt要和你們分享的是如何玩轉地圖投影的公式，由正解公式求解：(Lat,Lon)-->(E,N)，或者由反解公式求解：（E,N）-->（Lat,Lon）。關於怎麼進行投影？你們能夠參考我以前寫過的一篇《.gen地圖文件的投影編程實現（以墨卡託投影和蘭伯特投影爲例）》http://www.cnblogs.com/to-sunshine/p/6048438.html。接下來，yogurt先給你們簡單介紹一下地球橢球及其參數，還有蘭伯特投影和墨卡託投影公式，讓你們對於投影這個概念和過程有個大體地瞭解。而後，經過兩個例子分別對蘭伯特投影和墨卡託投影進行正反算求解。

============================yogurt小課堂開課了===========================

    什麼叫作地球橢球？咱們都知道地球是一個兩邊寬上下扁的不規則橢球體。那麼爲了簡化計算，咱們把這個橢球體近似看做一個標準橢球體，它擁有如下參數：

長半徑：a    ；                                 短半徑：b    ；

扁率：

第一偏愛率：             第二偏愛率：       

 

扁率與偏愛率的關係爲：e ² = 2 X f - f ²    。

    固然，地球橢球體與普通標準橢球體仍是有必定區別的，下面的參數則是地球橢球體特有的：     首先，咱們要來了解這兩個概念：

法截面：設過橢球表面上任意一點A作法線AL，經過法線的平面所截成的截面；

子午圈截面：包含子午圈的橢球體截面；       -->   對應曲率半徑 （該半徑對應的圓弧是與全部經線相平行的）

卯酉圈截面：垂直於子午圈截面的法截面。    -->   對應曲率半徑（該半徑cos以後獲得的半徑是對應的緯線圈上的半徑，對應的圓弧是與全部緯線相平行的）

如圖：

 

假設某點   緯度：ρ    經度：λ

由   弧長 l = 半徑 r X  弧度φ  獲得：

南北方向弧長：dN = M X dρ   ，    東西方向弧長：dE = （N X cosρ） X dλ    。

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    什麼叫作地圖投影呢？即：創建平面上的點（用平面直角座標或極座標表示） 和地球表面上的點（用緯度Φ和經度λ表示）之間 的函數關係，用數學表達這種關係，就是：

    蘭伯特投影：是等角正軸割圓錐投影；        墨卡託投影：是等角正切圓柱投影。

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一、  利用蘭伯特等角投影正解和反解公式進行求解

正解公式由(Lat,Lon)à(E,N)：

注：設原點緯度爲，原點經度爲，第一標準緯線φ1，第二標準緯線φ2，則：

（來自我老師課件）

反解公式由（E,N）à（Lat,Lon）：

注：設原點緯度爲，原點經度爲，第一標準緯線φ1，第二標準緯線φ2，則：

（來自我老師課件）

 

二、  利用墨卡託投影的正解和反解公式進行求解

正解公式由（B，L）à（X，Y）：

注：設標準緯度B0，原點緯度0，原點經度L0

（來自我老師課件）

 

反解公式由（X，Y）à（B，L）：

注：設標準緯度B0，原點緯度0，原點經度L0

（來自我老師課件）

 

=================================下課了================================

    下面用兩道例題來實踐一下這個正反解算過程。

    第一題：根據Clarke 1986橢球體及如下參數，利用蘭伯特投影求解 Lat = 28°30’ N ，Lon = 96° W的N、E座標，而後反算Lat/Lon，寫出主要步驟。已知該橢球體的參數以下：

    a = 6378206.400 m       1/f=294.97870    

    原點緯度: 27°50’N         原點經度: 99° W

    第一標準緯線緯度: 28°23’ N        第二標準緯線緯度：30°17’ N

    東偏移: 609,600 meter       北偏移: 0 meter

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1、正解：

一、參數分析：

由公式

可知，須要求出未知參數r、rf和角度，這三個參數也有求解公式。

觀察參數的求解公式：

可知，m公式能夠算出m1和m2,；t公式能夠算出t1和t2和tf；n和f的值是惟一的；還須要根據扁率f算出橢圓的第一偏愛率e。

 

二、求解過程：

（1）首先根據f的值求出基本參數e；

（2）而後就能夠根據e的值和已知點的緯度以及第一和第二標準緯線算出m一、m2和t、t一、t二、tf的值；

（3）接着就能夠根據m一、m2和t一、t2算出n的值；

（4）再根據m一、t1和n能夠算出未知參數角度和F；

（5）最後根據這些參數能夠算出最後的未知參數 r 和 rf 的值。

（6）將求解出來的r和角度帶入公式，獲得投影后的經度；

將求解出來的rf和角度帶入公式，獲得投影后的緯度。

 

三、結果：（903253.1578,169962.9044），過程超級難算的，這個結果yogurt也不敢保證正確哦（〒_〒）

 

2、反解：

一、參數分析：

由公式：

可知，須要求出未知參數t’、e以及 θ‘ 和n，尤爲第一個公式未知數 φ 同時在等式的兩側就須要迭代直到兩次迭代的結果很是接近爲止，另外的四個參數也有求解公式。

觀察參數的求解公式：

可知，Ef、Nf是題目中已知的假東和假北值，e、n、F、rf能夠用正解中算出的值對應，剩下的r’、t’、角度’是須要求的。

 

二、求解過程：

（1）根據E、Ef和rf、N、Nf求出r’和角度’；

（2）根據r’的值和a、F、n求出t’；

（3）最後把t’和e帶入到公式，假設 φ 的值爲25°N帶入公式右邊，

計算以後獲得一個新的 φ1，將 φ1帶入公式右邊，計算獲得 φ2，重複帶入公式右邊，直到某個 φ 帶入後算出來的 φ 值和帶入前很是接近爲止，獲得 φ 最終的結果；

把角度 θ’、和n還有原點經度帶入公式，獲得投影前的經度值。

 

三、結果：（96,28.5）過程超級難算的，這個結果yogurt也不敢保證正確哦（〒_〒）

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    第二題：根據Krassowski 1940橢球體及如下參數，利用墨卡託投影求解 Lat = 53°00’ N ，Lon = 53° E的N、E座標，而後反算Lat/Lon，寫出主要步驟。已知該橢球體的參數以下：

    a = 6378245.0 m       1/f = 298.3

    原點經度：51° W        第一標準緯線緯度：42° N

    西偏移：300,000 meter         北偏移：300,000 meter

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1、正解：

一、參數分析：

由公式：

可知，須要求出未知參數e和K，K也有求解公式。

觀察參數的求解公式：

 

可知，除了題目已知參數外，還須要算出橢球體的短半軸和第二偏愛率e’。

 

二、求解過程：

（1）根據扁率 f 和第一偏愛率的關係算出第一偏愛率e；

（2）根據 e 和 a 的關係能夠算出短半軸 b 的值；

（3）根據 a 和 b 能夠算出第二偏愛率 e’；

（4）根據 K 的求解公式，利用a、b和 e’ 以及標準緯度 B0 的值算出K；

（5）將K和e代入公式，獲得投影后的緯度；將K代入公式，獲得投影后的經度值。

 

三、結果：（-162372.5867,5067861.1471）一樣，過程超級難算的，這個結果yogurt也不敢保證正確哦（〒_〒）

 

2、反解：

一、參數分析：

由公式其中參數EXP爲天然對數底，

可知其餘所需的參數分別是K和e能夠用正解中算出值，以及題目中已知的原點緯度L0。

 

二、求解過程：

（1）根據Y、K和原點經度L0，利用公式直接獲得投影前的經度；

根據EXP、K、X和e的值帶入公式，假設B的值爲50°N帶入公式右邊，，獲得一個新的B1，再將B1帶入公式右邊獲得B2，重複帶入，直到帶入前和帶入後的值很是接近時爲止，獲得投影前的緯度值。

 

三、結果：（53,53）一樣，過程超級難算的，這個結果yogurt也不敢保證正確哦（〒_〒）~~

 

    好啦，今天yogurt就和你們講到這裏啦，你們有什麼不明白的能夠評論提問，我看到就會解答噠~~