最近公共祖先 LCA (Lowest Common Ancestors)-樹上倍增

樹上倍增是求解關於LCA問題的兩個在線算法中的一個，在線算法即不須要開始所有讀入查詢，你給他什麼查詢，他都能返回它們的LCA。

樹上倍增用到一個關鍵的數組F[i][j],這個表示第i個結點的向上2^j層的結點。在RMQ-ST中用救是這樣的數組。

在樹上倍增中也是關鍵點。

如在上圖中，咱們要找結點8和7的LCA，從途中咱們能夠看出是3(這句估計是廢話)。採用倍增的思想是這樣的

首相判斷結點U和V是否在同一層次，便是否深度相同。由於在深度相同後這樣後，兩者就能夠同時向上跳某n層，去識別所到之點是否爲它們的LCA。

若是深度較大(在底下的點)，跳到較高的那個點後，發現兩者重合了，那麼恭喜，LCA已經找到了

另外底下的結點向上跳的步數也不是一步一層的，要否則太慢了。而是計算出U和V的高度差，按高度差的對數k(2^k)去跳，於是愈來愈接近高層結點，直到相等。

 1 if(depth[u] < depth[v])
 2     {
 3         swap(u,v);//始終讓U在最小邊，便於理解
 4     }
 5     while(depth[u] != depth[v])//兩者再也不同一高度
 6     {
 7         u = father[u][lg[ depth[u]-depth[v]]]; //u向上跳 2^(兩者高度差的對數)層
 8     }
 9     if(u==v)//重疊直接就是找到LCA
10     {
11         return u;
12     }

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可是大多數狀況不是這樣的，它們每每不會重合，所以要開是同步向上跳。

以U結點到根結點的距離(U的深度爲基準)，取對數後爲k，在這樣去跳2^k層是確定不會超過根上面的

但這樣不保證是否錯過了LCA，因此回退,k-1,從新跳2^(k-1)層，再去判斷。直到U和V不等時，它們上一層的結點必定就是LCA了。再舉個簡單的例子吧

1 for(int j =lg[depth[u]];j>=0;j--)//lg[depth[u]]表示u距離根結點的距離取對數
2     {
3         if(father[u][j] != father[v][j])//直到兩者所跳的地方不同
4         {
5             u = father[u][j];
6             v = father[v][j];
7         }
8     }
9     return father[u][0];//返回u的father/上一層結點就是LCA

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這個LCA須要以構建好樹和計算出每一個結點的深度的條件爲基礎的。

 dfs就不細說了，這裏只說一下這個語句

1  father[curnode][j] = father[father[curnode][j-1]][j-1];

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