【BZOJ 1211】 1211: [HNOI2004]樹的計數 （prufer序列、計數）

　　

1211: [HNOI2004]樹的計數

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Description

一個有n個結點的樹，設它的結點分別爲v1, v2, …, vn，已知第i個結點vi的度數爲di，問知足這樣的條件的不一樣的樹有多少棵。給定n，d1, d2, …, dn，編程須要輸出知足d(vi)=di的樹的個數。

Input

第一行是一個正整數n，表示樹有n個結點。第二行有n個數，第i個數表示di，即樹的第i個結點的度數。其中1<=n<=150，輸入數據保證知足條件的樹不超過10^17個。

Output

輸出知足條件的樹有多少棵。

Sample Input

4
2 1 2 1

Sample Output

2

HINT

Source

 

 

【分析】

　　無根樹的表示法用prufer數列。【長姿式】

　　

將樹轉化成Prufer數列的方法

一種生成Prufer序列的方法是迭代刪點，直到原圖僅剩兩個點。對於一棵頂點已經通過編號的樹T，頂點的編號爲{1,2,...,n}，在第i步時，移去全部葉子節點（度爲1的頂點）中標號最小的頂點和相連的邊，並把與它相鄰的點的編號加入Prufer序列中，重複以上步驟直到原圖僅剩2個頂點。

例子

 

Prufer數列

以上面的樹爲例子，首先在全部葉子節點中編號最小的點是2，和它相鄰的點的編號是3，將3加入序列並刪除編號爲2的點。接下來刪除的點是4，5被加入序列，而後刪除5，1被加入序列，1被刪除，3被加入序列，此時原圖僅剩兩個點（即3和6），Prufer序列構建完成，爲{3,5,1,3}

將Prufer數列轉化成樹的方法

設{a1,a2,..an-2}爲一棵有n個節點的樹的Prufer序列，另建一個集合G含有元素{1..n}，找出集合中最小的未在Prufer序列中出現過的數，將該點與Prufer序列中首項連一條邊，並將該點和Prufer序列首項刪除，重複操做n-2次，將集合中剩餘的兩個點之間連邊便可。

例子

仍爲上面的樹，Prufer序列爲{3,5,1,3}，開始時G={1,2,3,4,5,6}，未出現的編號最小的點是2，將2和3連邊，並刪去Prufer序列首項和G中的2。接下來連的邊爲{4,5},{1,5},{1,3},此時集合G中僅剩3和6，在3和6之間連邊，原樹恢復

 

　　說明樹和prufer數列是一一對應的。

　　這個數列的特色是：這個點的度數-1=它在數列的出現次數。

　　因此數列總長度是n-2。

 

　　這道是prufer數列的裸題。

　　首先判斷是否無解啦。

　　特判n=1，而後d=0,d>=n這種狀況。

　　且$\sum d[i]-1 = n-2$要成立。

　　而後最後的答案就是$\dfrac{(n-2)!}{\Pi (d[i]-1)!}$

 

　　手動消因子便可。最後答案保證不超過long long了。

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 #define Maxn 160
 8 #define LL long long
 9 
10 int d[Maxn],cnt[Maxn];
11 
12 void cal(int x,int y)
13 {
14     for(int i=2;i*i<=x;i++) if(x%i==0)
15     {
16         while(x%i==0) cnt[i]+=y,x/=i;
17     }
18     if(x!=1) cnt[x]+=y;
19 }
20 
21 int main()
22 {
23     int n;
24     scanf("%d",&n);
25     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&d[i]);
26     if(n==1)
27     {
28         if(d[1]==0) printf("1\n");
29         else printf("0\n");
30     }
31     else
32     {
33         int sum=0;
34         for(int i=1;i<=n;i++)
35         {
36             if(d[i]==0||d[i]>=n) {printf("0\n");return 0;}
37             sum+=(--d[i]);
38         }
39         if(sum!=n-2) printf("0\n");
40         else
41         {
42             for(int i=1;i<=n;i++) cnt[i]=0; 
43             for(int i=2;i<=n-2;i++) cal(i,1);
44             for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=2;j<=d[i];j++) cal(j,-1);
45             LL ans=1;
46             for(int i=1;i<=n;i++) while(cnt[i]--) ans=1LL*ans*i;
47             printf("%lld\n",ans);
48         }
49     }
50     return 0;
51 }

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