面試題的那些事（2）—斐波那契數列

斐波那契數列

一、寫一個函數，輸入n,求斐波那契數列的第n項。斐波納挈數列的定義以下：

解法一：使用遞歸解決

long long RecurFibonacci(unsigned int n)
{
	if (n <= 0)
	{
		return 0;
	}
	if (n == 1)
	{
		return 1;
	}
	return RecurFibonacci(n - 1) + RecurFibonacci(n - 2);
}

分析：思路簡單理解，可是效率很低，面試官不必定會喜歡。由於在進行遞歸時，會重複的計算。

解法二：非遞歸的解法（面試官期待的解法）

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
	long long fib[2] = { 0,1 };
	if (n < 2)
	{
		return fib[n];
	}

	long long fibOne = 0;//保留Fibonacci（n-2）
	long long fibTwo = 1;//保留Fibonacci（n-1）
	long long fibN = 0;//第n個Fibonacci序列的結果
	for (unsigned int i = 2; i <= n; i++)
	{
		fibN = fibOne + fibTwo;
		fibOne = fibTwo;
		fibTwo = fibN;
	}
	return fibN;
}

分析：程序的可讀性雖然比較差，可是其效率很高。

測試代碼：

#include<iostream>
#include<Windows.h>

using namespace std;

int main()
{
	int start = GetTickCount();//從操做系統啓動所通過（elapsed）的毫秒數
	RecurFibonacci(40);
	int end = GetTickCount();
	cout <<"遞歸解法："<< end - start << endl;

	start = GetTickCount();
	Fibonacci(40);
	end = GetTickCount();
	cout << "非遞歸解法：" << end - start << endl;
	getchar();
	return 0;
}

二、跳臺階

一隻青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

解法分析：

最簡單的狀況：

若是隻有1級臺階，那麼顯然只有一種跳法。若是有2級臺階，那麼則會有2種跳法：一種是分兩次跳，每次跳1階；另一種則是一次跳2級。

通常狀況：

當n大於2時，第一次跳的時候有兩種選擇：一種是第一次只跳1階，此時的跳法就是f(n-1),另一種跳法就是第一次跳2階，而後此時的跳法就是f(n-2)。因此總的次數就是f(n)=f(n-1)+f(n-2);很明顯此時是一個斐波那契數列。

long long jumpFloor( unsigned int number) 
{

	unsigned int jump[2] = { 0,1 };
	if (number < 2)
	{
		return jump[number];
	}

	long long jumpOne = 1;
	long long jumpTwo = 1;
	long long jumpN = 0;
	//n>2時爲斐波那契數列
	//跳一階則方法爲jumpFloor(n-1)
	//跳兩階則方法爲jumpFloor(n-2)

	for (unsigned int i = 2; i <= number; i++)
	{
		jumpN = jumpOne + jumpTwo;
		jumpOne = jumpTwo;
		jumpTwo = jumpN;
	}
	return jumpN;
}

三、變態跳臺階

一隻青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級……它也能夠跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

解法分析：

使用數學概括法：

1）當n爲1的時候，只有1種跳法

2）當n爲2的時候，能夠有（1,1）和（2）共2種跳法

3）當n爲3的時候，能夠有（1,1,1）、（1,2）、（2，1）、（3）共4種跳法

4）當n爲4的時候，能夠有（1,1,1,1）、（一、二、1）、（一、3）、（一、一、2）、（2，1,1）、（2,2）、（3,1）、（4）共8種跳法

.......

由數學概括法得f(n)=2的（n-1）次方。

long long jumpFloorII(unsigned int number) {
	if (number <= 0)
	{
		return 0;
	}
	return pow(2, number - 1);
}

四、矩形覆蓋

咱們能夠用2*1的小矩形橫着或者豎着去覆蓋更大的矩形。請問用n個2*1的小矩形無重疊地覆蓋一個2*n的大矩形，總共有多少種方法？

解法分析：

假設當n爲1的時候，只有1種覆蓋方法

當n>2時，覆蓋大矩形的最左邊時有2種覆蓋方法：當豎着放的時候右邊還剩下2*(n-1)個區域，此時的覆蓋方法爲f(n-1);當橫着放的時候，那麼最左下角也必須橫着放，那麼右邊還剩下2*（n-2）個矩形，此時的方法爲f(n-2);總的方法爲f(n)=f(n-1)+f(n-2),又是斐波納挈數列。

long long rectCover(unsigned int number) {
	if (number < 1)
	{
		return 0;
	}
	long long stepOne = 0;
	long long stepTwo = 1;
	long long step = 0;
	for (unsigned int i = 1; i <= number; i++)
	{
		step = stepOne + stepTwo;
		stepOne = stepTwo;
		stepTwo = step;
	}
	return step;
}