數據結構與算法-二叉查找樹平衡(AVL)

上節討論的DSW算法能夠從全局從新平衡樹：每一個節點均可能參與樹的從新平衡，或者從節點中移除數據，或者從新設置指針的值。可是，當插入或刪除元素時，將隻影響樹的一部分，此時樹的從新平衡能夠只在局部進行。局部平衡二叉查找樹有一個鼎鼎大名的算法，叫作AVL算法，由AVL算法構建出來的二叉樹稱之爲AVL樹。

AVL樹首先是一顆二叉查找樹，其次，AVL樹要求每一個節點左右子樹的高度差最大爲1。例如，圖1-1中的全部樹都是AVL樹。節點中的數字表示平衡因子，即左右子樹的高度差。平衡因子等於右子樹的高度減去左子樹的高度。對於AVL樹，全部的平衡因子都應是+一、0或-1。平衡AVL樹的技術不保證獲得的樹是徹底平衡的，但倒是高度平衡的。有關平衡的概念能夠參考數據結構與算法-二叉查找樹平衡(DSW)。

假設咱們已經有了一顆AVL樹，那麼如何保證在插入或者刪除元素時繼續保持AVL樹的特性呢？

• 插入

前人對於AVL樹的插入操做進行總結，發現一共有4種狀況須要討論。其中，在左子樹中插入有兩種狀況，在右子樹中插入也有兩種狀況。而且它們是對稱的，所以，咱們以右子樹爲例，只須要討論兩種狀況便可。

假設咱們在AVL樹中插入一個新的節點p，那麼p的父節點以及祖父節點的平衡因子都有可能改變，咱們從下到上更新節點的平衡因子，若是發現某個節點的平衡因子成爲+2或者-2，那麼就以該節點爲根截取這段子樹。若是根節點平衡因子成爲了+2，表明節點插入到了右子樹中，若是根節點平衡因子成爲了-2，表明節點插入到了左子樹。咱們這裏只討論+2，即節點插入到右子樹上的兩種狀況。

若是節點平衡因子變成了+2，那麼，咱們能夠將這顆子樹抽象出來，它必然是下面這種樣子：

也就是說，若是插入新節點使P節點的平衡因子成了+2，那麼以P爲根的子樹，必然是上面的樣子。插入的新節點要麼放在Q的左子樹上，要麼放在Q的右子樹上，這就是咱們要討論的兩種狀況。

一、RR

第一種狀況有個簡稱，叫作RR，也就是說新節點插入到右子樹的右節點，就像這樣：

怎麼處理呢？P節點的左子樹比右子樹低，還記得左旋的效果嗎？左旋能夠提升左子樹的高度，下降右子樹的高度，用在這裏正合適。將Q節點圍繞P節點進行左旋以後效果以下：

很是完美，左旋在這裏產生了兩個效果。首先，左旋使當前子樹從新保持平衡，其次，左旋沒有改變當前子樹的高度。左旋以前子樹高度爲h + 2，左旋以後依然是h + 2。這就意味着，從Q節點開始往上的節點不須要更新平衡因子了。因此，左旋使得算法變得足夠簡單。

• RL

顧名思義，RL的意思是將新節點插入到右子樹的左節點上，就像這樣：

怎麼處理呢？首先仍是左旋，可是很快你會發現，左旋確實提升了左子樹高度，可是過高了，又形成了新的不平衡，就像這樣：

究其緣由，是h + 1那顆子樹大大提升了左子樹高度，咱們必須把它放在右子樹上才行，能夠這樣處理。首先，咱們認爲，若是是由於在P樹的右子樹的左節點上插入元素致使P節點不平衡，那麼，在沒有插入新節點以前，P樹確定是下面這種樣子的：

Q的左子樹插入了新的節點，可能插入到R的左子樹或者右子樹，先無論這個，爲了下降Q的左子樹的高度，將R圍繞着Q進行右旋，結果是這樣：

靠譜，R的左子樹高度就是就是m1樹的高度，既多是h - 1，也多是h，可是都比h + 1要小，這時咱們再作一次左旋，結果以下：

完美，R樹最終平衡了，而且R樹的高度依然保持在h + 2，這也意味着沒必要更新R節點之上的祖先節點的平衡因子了。至於P和Q節點的平衡因子，這要看新節點是插入到m1樹仍是m2樹上了，可是不管如何，R樹都已經高度平衡了。

總結一下，對於RL形式的子樹，首先對右子樹的左節點作一次右旋，而後對新的根節點作一次左旋便可。

插入還有LL，LR兩種形式，可是它們分別和RR，RL形式對稱，這裏就很少介紹了。

這裏有個我看到的很是精闢的總結，引用一下：

AVL樹 算法思想與代碼實現

下面介紹刪除節點以後如何平衡二叉查找樹。

• 刪除

刪除比插入更加複雜，可是有着插入節點積累的經驗，理解刪除反而更加容易。

刪除節點首先面對的問題是平衡因子從哪一個節點開始變化的？這就要說到二叉查找樹的刪除邏輯了，在數據結構與算法-二叉查找樹中有着詳細的介紹。這裏簡單介紹一下，刪除葉子節點或者度爲1的節點，平衡因子從被刪除節點的父節點開始變化。刪除度爲2的節點須要使用複製刪除的技巧，使用被刪除節點的直接前驅或者直接後繼來替換被刪除節點，而後刪除直接前驅或者直接後繼，那麼，平衡因子就是從直接前驅或者直接後繼的父節點開始變化的。

既然知道了平衡因子開始變化的節點，就能夠從下到上的更新平衡因子的變化。

在探討插入節點引發的二叉樹的變化時，咱們總結出了RR、RL、LL、LR四種狀況，刪除節點會引發怎樣的變化呢？

刪除和插入有兩個不一樣點：

一、刪除不只包含以上四中變化，還多出兩種，固然這兩種也是對稱的

多出來的兩種是當前節點的父節點的平衡因子等於+2或者-2時，當前節點的平衡因子等於0。

插入節點之因此沒有這兩種變化，是由於插入節點使當前節點平衡因子變成0，說明當前節點的高度沒有變化，更加不會引發祖先節點的平衡因子變化了。而刪除節點時，若是當前節點平衡因子變成0，那麼當前節點的高度其實變小了，可能引發祖先節點的平衡因子變化。

怎麼處理這種狀況呢？若是父節點平衡因子等於+2，那就對當前節點進行左旋。若是父節點平衡因子等於-2，那就對當前節點進行右旋便可。

二、從新平衡過程沒有在發現平衡因子爲+2或者-2的第一個節點P後中止，而是追蹤到根節點

在插入節點的從新平衡過程當中，咱們在乎的是第一個平衡因子爲+2或者-2的節點，緣由在於咱們執行左旋或者右旋以後，子樹不只從新平衡而且高度也和沒有插入節點以前保持一致，所以，祖先節點的平衡因子就不會發生變化了。可是刪除節點發生了變化，從新平衡以後子樹的高度變小了。

爲何從新平衡以後，插入節點高度不變而刪除節點高度變小呢？

能夠思考下平衡的過程，假設平衡因子變化爲+2的節點爲P，它的左子樹高度爲h，右子樹高度必然爲h + 1，只有在右子樹插入新的節點，P節點的平衡因子纔會變化爲+2，從新平衡以後該樹的左右子樹高度爲h + 1，所以該樹的高度h + 2沒有變化。可是對於刪除又有不一樣，假設P節點左子樹高度爲h，右子樹高度必然爲h + 1，只有在左子樹刪除節點以後，P節點的平衡因子纔會變化爲2，從新平衡以後該樹的左右子樹的高度爲h，那麼該樹的高度h + 1比原來就減小了1。由於上述緣由，刪除節點以後從新平衡的邏輯不能只執行一次，而是從平衡因子發生變化的節點開始往上一直追蹤到根節點，發現不平衡的節點都要執行平衡邏輯。

到此爲止，AVL樹中添加和刪除節點的邏輯已經探討完畢。固然，這裏純粹是學術上的探討，沒有代碼示例，更加精深的內容須要在實踐中摸索。

知識的積累歷來不是看了一兩篇文章就能夠完成的，畢竟，功夫在詩外。

數據結構與算法-自適應二叉樹