【Java】 大話數據結構(12) 查找算法(3) （平衡二叉樹（AVL樹））
本文根據《大話數據結構》一書及網絡資料，實現了Java版的平衡二叉樹（AVL樹）。html
平衡二叉樹介紹
在上篇博客中所實現的二叉排序樹（二叉搜索樹），其查找性能取決於二叉排序樹的形狀，當二叉排序樹比較平衡時（深度與徹底二叉樹相同，[log2n]+1），時間複雜度爲O(logn)；但也有可能出現極端的斜樹，如依照{35,37,47,51,58,62,73,88,91,99}的順序，構建的二叉排序樹就以下圖所示，查找時間複雜度爲O(n)。java
圖1 斜樹node
爲提升查找複雜度，在二叉排序樹的基礎上，提出了二叉平衡樹：一種二叉排序樹，其中每一個結點的左右子樹的高度差至多等於1。算法
圖2 平衡二叉樹與非平衡二叉樹網絡
實現原理
定義二叉樹結點的左子樹深度減去右子樹深度的值爲平衡因子BF(Balance Factor)，平衡樹全部結點的BF只能是-1，0，1。數據結構
距離新插入結點最近，且平衡因子的絕對值大於1的結點爲根的子樹，稱爲最小不平衡子樹。ide
構建平衡二叉樹的基本思想就是：在構建過程當中，每當插入一個結點時，檢查是否破壞了樹的平衡性，如果，則找出最小不平衡樹，進行相應的調整。函數
具體實現步驟不少地方都有介紹，本文再也不贅述。post
實現算法
二叉樹的結點結構定義：性能
private class AVLnode {
int data; // 結點數據
int bf; // 平衡因子,左高記爲1，右高記爲-1，平衡記爲0
AVLnode lChild, rChild; // 左右孩子
public AVLnode(int data) {
this.data = data;
bf = 0;
lChild = null;
rChild = null;
}
}
根據以前提到的基本思想，爲調整最小不平衡樹，首先要了解兩種最基本的操做：左旋操做和右旋操做。
基本操做（左/右旋操做）
（1）右旋
以下圖中左邊的最小不平衡二叉樹，進行右旋操做便可變爲右邊中的平衡二叉樹。
圖3 右旋操做（狀況1）
根據上圖，容易編寫右旋操做的代碼以下：
/*
* 右旋
* 返回新的根結點
*/
public AVLnode rRotate(AVLnode p) {
AVLnode l = p.lChild;
p.lChild = l.rChild;
l.rChild = p;
return l;
}
（2）左旋操做
同上所述，左旋操做的圖示及代碼，以下所示。
圖4 左旋操做
/*
* 左旋
* 返回新的根結點
*/
public AVLnode lRotate(AVLnode p) {
AVLnode r = p.rChild;
p.rChild = r.lChild;
r.lChild = p;
return r;
}
左/右平衡旋轉
對於最小不平衡子樹，若其左子樹深度比右子樹大2（下面稱爲左斜的不平衡樹），需進行左平衡旋轉操做。若右子樹深度大，則需進行右平衡旋轉操做。
（1）左平衡旋轉：
左斜的不平衡樹有幾種形式，下面分開討論
>> L結點的BF值爲1時
直接對根結點P右旋便可
狀況(1)：以下圖所示，右旋根結點P。平衡後，P結點的BF值爲0，其左結點L的BF值也爲0。
圖5 狀況(1)
>> L結點的BF值爲-1時
都是先對L結點左旋，再對P結點右旋。根據平衡後P結點和L結點的BF值不一樣，能夠分出下面三種狀況：
狀況(2)：以下圖所示，先左旋L結點，再右旋P結點。平衡後，P結點的BF值爲-1，L結點的BF值爲0，LR結點的BF值爲0。
圖6 狀況(2)
（注：示意圖中，小三角形表示的子樹比大三角形表示的子樹深度少1，下同）
狀況(3)：以下圖所示，先左旋L結點，再右旋P結點。平衡後，P結點的BF值爲0，L結點的BF值爲1，LR結點的BF值爲0。
圖7 狀況(3)
狀況(4)：以下圖所示，先左旋L結點，再右旋P結點。平衡後，P結點的BF值爲0，L結點的BF值爲0，LR結點的BF值爲0。
圖8 狀況(4)
>> L結點的BF值爲0時
最小不平衡子樹也可能出現下面這種狀況（插入時不會出現，但刪除操做過程當中可能出現），《大話》一書中沒有討論到這種狀況。
狀況(5)：以下圖所示，直接右旋P結點。平衡後，L結點的BF值爲-1，LR結點的BF值爲1。
圖9 狀況(5)
綜上所述，左平衡旋轉一共可能出現5種狀況，如下爲左平衡旋轉操做的代碼：
/*
* 左平衡旋轉(左子樹高度比右子樹高2時(左斜)執行的操做)
* 返回值爲新的根結點
*/
public AVLnode leftBalance(AVLnode p) {
AVLnode l = p.lChild;
switch (l.bf) {
case 1: // 情況(1)
p.bf = 0;
l.bf = 0;
return rRotate(p);
case -1:
AVLnode lr = l.rChild;
switch (lr.bf) {
case 1: // 情況(2)
p.bf = -1;
l.bf = 0;
break; // break別漏寫了
case -1: // 情況(3)
p.bf = 0;
l.bf = 1;
break;
case 0: // 情況(4)
p.bf = 0;
l.bf = 0;
break;
}
lr.bf = 0;
// 設置好平衡因子bf後，先左旋
p.lChild = lRotate(l);// 不能用l=leftBalance(l);
// 再右旋
return rRotate(p);
case 0: // 這種狀況書中沒有考慮到，狀況(5)
l.bf = -1;
p.bf = 1;
return rRotate(p);
}
// 如下狀況應該是不會出現的，全部狀況都已經包括，除非程序還有問題
System.out.println("bf超出範圍，請檢查程序！");
return p;
}
（2）右平衡旋轉：
與左平衡的分析相似，也能夠分爲五種狀況，再也不贅述，下面直接給出代碼：
/*
* 右平衡旋轉(右子樹高度比左子樹高2時執行的操做)
* 返回值爲新的根結點
*/
public AVLnode rightBalance(AVLnode p) {
AVLnode r = p.rChild;
switch (r.bf) {
case -1:
p.bf = 0;
r.bf = 0;
return lRotate(p);
case 1:
AVLnode rl = r.lChild;
switch (rl.bf) {
case 1:
r.bf = -1;
p.bf = 0;
break;
case -1:
r.bf = 0;
p.bf = 1;
break;
case 0:
r.bf = 0;
p.bf = 0;
break;
}
rl.bf = 0;
p.rChild = rRotate(r);
return lRotate(p);
case 0:
p.bf = -1;
r.bf = 1;
return lRotate(p);
}
// 如下狀況應該是不會出現的，全部狀況都已經包括，除非程序還有問題
System.out.println("bf超出範圍，請檢查程序！");
return p;
}
插入操做的主函數
二叉平衡樹是一種二叉排序樹，因此其操做與二叉排序樹相同，但爲了保持平衡，須要對平衡度進行分析。
引入一個變量taller來衡量子樹是否長高，若子樹長高了，就必須對平衡度進行分析：若是不平衡，就進行上面所說的左右平衡旋轉操做。
具體的Java實現代碼以下：
/*
* 插入操做
* 要多定義一個taller變量
*/
boolean taller;// 樹是否長高
public void insert(int key) {
root = insert(root, key);
}
private AVLnode insert(AVLnode tree, int key) {// 二叉查找樹的插入操做同樣，但多了樹是否長高的判斷（樹沒長高就徹底相似BST二叉樹），要記得每次對taller賦值
if (tree == null) {
taller = true;
return new AVLnode(key);
}
if (key == tree.data) {
System.out.println("數據重複，沒法插入！");
taller = false;
return tree;
} else if (key < tree.data) {
tree.lChild = insert(tree.lChild, key);
if (taller == true) { // 左子樹長高了，要對tree的平衡度分析
switch (tree.bf) {
case 1: // 本來左子樹比右子樹高，須要左平衡處理
taller = false; // 左平衡處理，高度沒有增長
return leftBalance(tree);
case 0: // 本來左右子樹等高，現因左子樹增高而增高
tree.bf = 1;
taller = true;
return tree;
case -1: // 本來右子樹比左子樹高，現左右子樹相等
tree.bf = 0;
taller = false;
return tree;
}
}
} else if (key > tree.data) {
tree.rChild = insert(tree.rChild, key);
if (taller == true) { // 右子樹長高了，要對tree的平衡度分析
switch (tree.bf) {
case 1: // 本來左子樹高，現等高
tree.bf = 0;
taller = false;
return tree;
case 0: // 本來等高，現右邊增高了
tree.bf = -1;
taller = true;
return tree;
case -1: // 本來右子樹高，需右平衡處理
taller = false;
return rightBalance(tree);
}
}
}
return tree;
}
AVL樹的完整代碼
AVL樹的完整代碼以下（含測試代碼）：
package AVLTree;
/**
* AVL樹
* @author Yongh
*
*/
public class AVLTree {
private AVLnode root;
private class AVLnode {
int data; // 結點數據
int bf; // 平衡因子,左高記爲1，右高記爲-1，平衡記爲0
AVLnode lChild, rChild; // 左右孩子
public AVLnode(int data) {
this.data = data;
bf = 0;
lChild = null;
rChild = null;
}
}
/*
* 右旋
* 返回新的根結點
*/
public AVLnode rRotate(AVLnode p) {
AVLnode l = p.lChild;
p.lChild = l.rChild;
l.rChild = p;
return l;
}
/*
* 左旋
* 返回新的根結點
*/
public AVLnode lRotate(AVLnode p) {
AVLnode r = p.rChild;
p.rChild = r.lChild;
r.lChild = p;
return r;
}
/*
* 左平衡旋轉(左子樹高度比右子樹高2時(左斜)執行的操做)
* 返回值爲新的根結點
*/
public AVLnode leftBalance(AVLnode p) {
AVLnode l = p.lChild;
switch (l.bf) {
case 1: // 情況(1)
p.bf = 0;
l.bf = 0;
return rRotate(p);
case -1:
AVLnode lr = l.rChild;
switch (lr.bf) {
case 1: // 情況(2)
p.bf = -1;
l.bf = 0;
break; // break別漏寫了
case -1: // 情況(3)
p.bf = 0;
l.bf = 1;
break;
case 0: // 情況(4)
p.bf = 0;
l.bf = 0;
break;
}
lr.bf = 0;
// 設置好平衡因子bf後，先左旋
p.lChild = lRotate(l);// 不能用l=leftBalance(l);
// 再右旋
return rRotate(p);
case 0: // 這種狀況書中沒有考慮到，狀況(5)
l.bf = -1;
p.bf = 1;
return rRotate(p);
}
// 如下狀況應該是不會出現的，全部狀況都已經包括，除非程序還有問題
System.out.println("bf超出範圍，請檢查程序！");
return p;
}
/*
* 右平衡旋轉(右子樹高度比左子樹高2時執行的操做)
* 返回值爲新的根結點
*/
public AVLnode rightBalance(AVLnode p) {
AVLnode r = p.rChild;
switch (r.bf) {
case -1:
p.bf = 0;
r.bf = 0;
return lRotate(p);
case 1:
AVLnode rl = r.lChild;
switch (rl.bf) {
case 1:
r.bf = -1;
p.bf = 0;
break;
case -1:
r.bf = 0;
p.bf = 1;
break;
case 0:
r.bf = 0;
p.bf = 0;
break;
}
rl.bf = 0;
p.rChild = rRotate(r);
return lRotate(p);
case 0:
p.bf = -1;
r.bf = 1;
return lRotate(p);
}
// 如下狀況應該是不會出現的，全部狀況都已經包括，除非程序還有問題
System.out.println("bf超出範圍，請檢查程序！");
return p;
}
/*
* 插入操做
* 要多定義一個taller變量
*/
boolean taller;// 樹是否長高
public void insert(int key) {
root = insert(root, key);
}
private AVLnode insert(AVLnode tree, int key) {// 二叉查找樹的插入操做同樣，但多了樹是否長高的判斷（樹沒長高就徹底相似BST二叉樹），要記得每次對taller賦值
if (tree == null) {
taller = true;
return new AVLnode(key);
}
if (key == tree.data) {
System.out.println("數據重複，沒法插入！");
taller = false;
return tree;
} else if (key < tree.data) {
tree.lChild = insert(tree.lChild, key);
if (taller == true) { // 左子樹長高了，要對tree的平衡度分析
switch (tree.bf) {
case 1: // 本來左子樹比右子樹高，須要左平衡處理
taller = false; // 左平衡處理，高度沒有增長
return leftBalance(tree);
case 0: // 本來左右子樹等高，現因左子樹增高而增高
tree.bf = 1;
taller = true;
return tree;
case -1: // 本來右子樹比左子樹高，現左右子樹相等
tree.bf = 0;
taller = false;
return tree;
}
}
} else if (key > tree.data) {
tree.rChild = insert(tree.rChild, key);
if (taller == true) { // 右子樹長高了，要對tree的平衡度分析
switch (tree.bf) {
case 1: // 本來左子樹高，現等高
tree.bf = 0;
taller = false;
return tree;
case 0: // 本來等高，現右邊增高了
tree.bf = -1;
taller = true;
return tree;
case -1: // 本來右子樹高，需右平衡處理
taller = false;
return rightBalance(tree);
}
}
}
return tree;
}
/*
* 前序遍歷
*/
public void preOrder() {
preOrderTraverse(root);
System.out.println();
}
private void preOrderTraverse(AVLnode node) {
if (node == null)
return;
System.out.print(node.data+" ");
preOrderTraverse(node.lChild);
preOrderTraverse(node.rChild);
}
/*
* 中序遍歷
*/
public void inOrder() {
inOrderTraverse(root);
System.out.println();
}
private void inOrderTraverse(AVLnode node) {
if (node == null)
return;
inOrderTraverse(node.lChild);
System.out.print(node.data+" ");
inOrderTraverse(node.rChild);
}
/*
* 測試代碼
*/
public static void main(String[] args) {
AVLTree aTree = new AVLTree();
int[] arr = { 3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8 };
for (int i : arr) {
aTree.insert(i);
}
System.out.print("前序遍歷結果：");
aTree.preOrder();
System.out.print("中序遍歷結果：");
aTree.inOrder();
AVLTree bTree = new AVLTree();
int[] arr2 = { 3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9 };
for (int i : arr2) {
bTree.insert(i);
}
System.out.print("前序遍歷結果：");
bTree.preOrder();
System.out.print("中序遍歷結果：");
bTree.inOrder();
}
}
前序遍歷結果：4 2 1 3 7 6 5 9 8 10 中序遍歷結果：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 前序遍歷結果：7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16 中序遍歷結果：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
測試代碼中的兩個AVL樹以下圖所示：
圖10 aTree
圖11 bTree
後記
若是不用平衡因子BF，而是子樹的高度來進行分析，討論的狀況就比較少，可參考這篇博客：AVL樹(三)之 Java的實現
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