Python數模筆記-PuLP庫（1）線性規劃入門

一、什麼是線性規劃

　　線性規劃（Linear programming），在線性等式或不等式約束條件下求解線性目標函數的極值問題，經常使用於解決資源分配、生產調度和混合問題。例如：

max		fx = 2*x1 + 3*x2 - 5*x3
s.t.	x1 + 3*x2 + x3 <= 12
		2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10
		x1 + x2 + x3 = 7
		x1, x2, x3 >=0

　　線性規劃問題的建模和求解，一般按照如下步驟進行：

（1）問題定義，肯定決策變量、目標函數和約束條件；
（2）模型構建，由問題描述創建數學方程，並轉化爲標準形式的數學模型；
（3）模型求解，用標準模型的優化算法對模型求解，獲得優化結果；

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二、PuLP 庫求解線性規劃

　　PuLP是一個開源的第三方工具包，能夠求解線性規劃、整數規劃、混合整數規劃問題。
　　下面以該題爲例講解 PuLP 求解線性規劃問題的步驟：
（0）導入 PuLP庫函數

import pulp

（1）定義一個規劃問題

MyProbLP = pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)

　　pulp.LpProblem 是定義問題的構造函數。
　　"LPProbDemo1"是用戶定義的問題名（用於輸出信息）。
　　參數 sense 用來指定求最小值/最大值問題，可選參數值：LpMinimize、LpMaximize 。

（2）定義決策變量

x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
    x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous')
    x3 = pulp.LpVariable('x3', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous')

　　pulp.LpVariable 是定義決策變量的函數。
　　'x1' 是用戶定義的變量名。
　　參數 lowBound、upBound 用來設定決策變量的下界、上界；能夠不定義下界/上界，默認的下界/上界是負無窮/正無窮。本例中 x1,x2,x3 的取值區間爲 [0,7]。
　　參數 cat 用來設定變量類型，可選參數值：'Continuous' 表示連續變量（默認值）、' Integer ' 表示離散變量（用於整數規劃問題）、' Binary ' 表示0/1變量（用於0/1規劃問題）。

（3）添加目標函數

MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3  	# 設置目標函數

　　添加目標函數使用 "問題名 += 目標函數式" 格式。
（4）添加約束條件

MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10)  # 不等式約束
    MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 <= 12)  # 不等式約束
    MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7)  # 等式約束

　　添加約束條件使用 "問題名 += 約束條件表達式" 格式。
　　約束條件能夠是等式約束或不等式約束，不等式約束能夠是 小於等於 或 大於等於，分別使用關鍵字">="、"<="和"=="。
（5）求解

MyProbLP.solve()
    print("Status:", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) # 輸出求解狀態
    for v in MyProbLP.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 輸出每一個變量的最優值
    print("F(x) = ", pulp.value(MyProbLP.objective))  #輸出最優解的目標函數值

　　solve() 是求解函數。PuLP默認採用 CBC 求解器來求解優化問題，也能夠調用其它的優化器來求解，如：GLPK，COIN CLP/CBC，CPLEX，和GUROBI，但須要另外安裝。　

三、Python程序和運行結果

完整的程序代碼以下：

import pulp
MyProbLP = pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
x3 = pulp.LpVariable('x3', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3  	# 設置目標函數
MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10)  # 不等式約束
MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 <= 12)  # 不等式約束
MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7)  # 等式約束
MyProbLP.solve()
print("Status:", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) # 輸出求解狀態
for v in MyProbLP.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 輸出每一個變量的最優值
print("F(x) = ", pulp.value(MyProbLP.objective))  #輸出最優解的目標函數值
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程序運行結果以下：

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.9.0 
Build Date: Feb 12 2015 

Status: Optimal
x1 = 6.4285714
x2 = 0.57142857
x3 = 0.0
F(x) =  14.57142851

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