省選算法學習·一些數列相關的數學知識 [數學]

數列求和

等比數列：$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

這個玩意兒的應用在於算一些指望的時候，$n$由於無限循環會趨於$inf$，因此若$q\le 1$，就會變成$S=\frac{a_1}{1-q}$這樣子

等差數列：$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

遞推方程求數列通項公式

基礎的疊加、疊乘什麼的不講了

待定係數（高考基礎）

Type 1

$a_n=pa_{n-1}+q$

把$q$分一點到左邊來，變成$a_n+x=p(a_{n-1}+x)$

其中有$(p-1)x=q$

Type 2

$a_n=pa_{n-1}+f(n)$

其實是Type 1的通常形式，只須要同樣挪一點來左邊就行了

Type 3

$a_n=pa_{n-1}^r(r\neq 1,r\neq 0)$

兩邊同時取對數便可

$\log a_n=r\log a_{n-1}+\log p$

特徵根（高考基礎）

Type 1

$a_n=pa_{n-1}+qa_{n-2}$

這種的典型例子就是斐波那契數列：$1,1,2,3,5,8,13,21......$

對於這種數列，它的特徵方程爲$x^2-px-q=0$

設其兩解爲$x_1,x_2$，則其通項公式爲$a_n=Ax_1^n+Bx_2^n$的形式

其中的$A,B$須要代入前兩項解出來

不動點（數競基礎）

Type 1

$a_n=\frac{ra_{n-1}+s}{pa_{n-1}+q}$

咱們把數列看作離散的函數，考慮這個函數的不動點$x=\frac{rx+s}{px+q}$，即$px^2+(q-r)x-s=0$

設其兩解爲$x_1,x_2$，分兩解相同和不一樣兩種狀況考慮：

1) 兩解相同，則有$\frac{1}{a_n-x_1}=\frac{1}{a_{n-1}-x_1}+\frac{2p}{r+q}$

2) 兩解不一樣，則有$\frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}=\frac{r-px_1}{r-px_2}\frac{a_{n-1}-x_1}{a_{n-1}-x_2}$

這樣就能夠求出對應的等比數列通項，再推出$a_n$的通項

注意點

實際上，上述三種方法都是基於待定係數的方程代還，也就是待定係數的Type 1。考場上遇到懵逼的狀況，能夠考慮從待定係數Type 1出發現推一下，用不了多久的