歐拉函數

歐拉函數Euler(x)

Euler(n)表示1-n之間與n互質的個數,例如Euler(4) = 2，其中1和3與4互質。（數論裏面規定Euler(1) = 1,而且1與任何數互質）。

歐拉函數的通項表達式爲：

還有其一些推論：

當n >= 1時，1 - n中與n互質的整數和爲nEuler(n)/2;

那歐拉函數怎麼求呢？

首先咱們再來學習下一個概念：積性函數。

函數f（x)對於任意正整數a, b，若是a,b互質而且知足f(ab) = f(a)f(b),則f(x)爲積性函數。其中若a,b不互質仍知足f(ab) = f(a)f(b)則稱f(x)爲徹底積性函數。

對於一個數n和他的約數p:

對於任意一個正整數n, 均有：

再根據積性函數的性質得：

也就是先預處理使Euler[i] = i,再去考慮能被n的質因數，只要把其中一個質因數p改爲p - 1便可。

附上僞代碼：

const int N = 1000000 + 5;

int euler[N];

void euler_function(){
    for(int i = 0; i <= N - 5; i ++) euler[i] = i;
    for(int i = 2; i <= N - 5; i ++)
        if(euler[i] == i)
            for(int j = 1; i * j <= N - 5; j ++) 
                euler[i * j] = euler[i * j] / i * (i - 1);
}

　固然，上述算法（相似於埃式篩法）的複雜度爲（n + nloglogn)。

而後咱們再想一想篩選素數的方法除了埃式篩法，還有更快速的線篩（素數篩選傳送門）

附上代碼：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000000 + 5;

int n;

int check[N], euler[N], prime[N];

void euler_function(){
    memset(check, 0, sizeof(check));
    euler[1] = 1;
    int tot = 0;
   for(int i = 2; i <= N - 5; i ++){
        if(!check[i]){
            prime[tot ++] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 0; j < tot; j ++){
            if(i * prime[j] > N - 5) break;
            check[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0){
                euler[i * prime[j]] = euler[i] * prime[j];
                break;
            }
            else euler[i * prime[j]] = euler[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}

int main(){
    euler_function();
    while(scanf("%d", &n) == 1)printf("%d\n", euler[n]);
    return 0;
}

　　

 參考論文 ：http://www.docin.com/p-687551303.html