凸包--Graham掃描法

一直聽大佬們說：凸包、凸包、凸包
一直不會。。。。。
而後。。。。
今天考試，考了一道計算幾何的簡單題。。。。
這，，，仍是學一下吧。。
而後考試現場學習一下凸包算法。

先理解一下凸包是啥東西。

看看這張圖
解釋一下凸包是什麼
若是你有一堆點（原諒我畫的很凌亂）
那麼，找到一個點集
依次鏈接這些點
使他們造成一個凸多邊形
而且全部的點都包括在這個多邊形的內部或者邊上
這個多邊形就是一個凸包（我寫的確定一點也不嚴謹）

無論怎麼樣，就先這樣理解一下吧。。。。。。

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凸包是啥應該不難理解，那麼，給你一堆點，怎麼求凸包？

這種東西。。。。。
先大概說一下把。。。

首先找到最靠近左下的那個點，這個點必定在凸包上（不難理解吧。。。畫個圖就知道了）

以這個點爲極點，其餘點按照極角排序

而後按照順序依次訪問全部點，判斷可行性

這樣子幹說真是虛無縹緲的東西。。。。。。
畫圖來解釋

這是一片點。

找到最靠近左下的一個點

其餘的點按照極角排序

而後把1丟到凸包的棧裏面，準備開始掃描

檢查2號點是否在1的一側，（檢查一下是否是凸多邊形）
這裏檢查到2號可行，先加入到棧中

檢查到3更加靠近外側（若是加入3號就會造成凹多邊形，顯然3在凸包中，而2不在）
而後把2號點彈出棧，判斷1號和3號節點的關係（同判斷2號）

依次這麼判斷，最後全部凸包上的點都會在棧中

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這樣子算法的步驟很顯然了。
繼續解決一些細節上的問題（貌似就一個把。。。。）
怎麼計算一個節點是否在前一個點的一側。。。。
（我說的好不專業。。。我本身都不知道該怎麼說一些名詞。。。就將就着理解一下吧。。。）

咱們先拿幾個點出來

其中1,2,3是當前在凸包的棧中的點，4號節點是須要判斷的點
那麼，咱們須要從棧中拿最上方的兩個點（2和3節點）
把他們鏈接起來，再把2和4鏈接起來（怎麼鏈接？我是不會說直接用向量的座標表示就能夠了）
計算一下兩個向量的叉積。。
哈，叉積。。。
解釋一下吧。。
假設2到3的向量是a(x1,y1)
2到4的向量是b(x2,y2)
那麼，計算一下它們的叉積，也就是x1y2-x2y1
換種方法來表示就是。
|a|·|b|·sin<a,b>
（因此說叉積也能夠用來求出三角形的面積~這個之後還會用到的）
若是，這兩個向量的叉積≥0 證實這兩個向量平行或者夾角是個銳角
也就證實了3號節點此時必定再也不凸包上（由於鏈接2和4以後3在凸包內側了）
把3號節點彈出棧，繼續重複上面的步驟便可。

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感受我說的有點小複雜誒。。。。
這個東東多畫點圖就會理解的

若是仍是不太清楚，能夠看一看代碼。

struct Node
{
       int x,y;
}p[MAX],S[MAX];//p儲存節點的位置，S是凸包的棧 
inline bool cmp(Node a,Node b)//比較函數，對點的極角進行排序 
{
       double A=atan2((a.y-p[1].y),(a.x-p[1].x));
       double B=atan2((b.y-p[1].y),(b.x-p[1].x));
       if(A!=B)return A<B;
       else    return a.x<b.x; //這裏注意一下，若是極角相同，優先放x座標更小的點 
}
long long Cross(Node a,Node b,Node c)//計算叉積 
{
       return 1LL*(b.x-a.x)*(c.y-a.y)-1LL*(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
}
void Get()//求出凸包 
{
       p[0]=(Node){INF,INF};int k;
       for(int i=1;i<=n;++i)//找到最靠近左下的點 
              if(p[0].y>p[i].y||(p[0].y==p[i].y&&p[i].x<p[0].x))
               {p[0]=p[i];k=i;}
       swap(p[k],p[1]);   
       sort(&p[2],&p[n+1],cmp);//對於剩餘點按照極角進行排序 
       S[0]=p[1],S[1]=p[2];top=1;//提早在棧中放入節點 
       for(int i=3;i<=n;)//枚舉其餘節點 
       {
              if(top&&Cross(S[top-1],p[i],S[top])>=0)
                        top--;//若是當前棧頂不是凸包上的節點則彈出 
              else  S[++top]=p[i++];//加入凸包的棧中 
       }
       //底下這個玩意用來輸出凸包上點的座標 
       //for(int i=0;i<=top;++i)
       //    printf("(%d,%d)\n",S[i].x,S[i].y);
}

接下來找一道簡單點的例題
HDU 1392

這道題目就是求出凸包而後計算周長，很簡單的題目，去試試吧。。