《漫畫算法》筆記-上篇

漫畫算法-小灰的算法之旅

魏夢舒（@程序員小灰）著

小灰用漫畫（可愛的手繪小倉鼠）的形式，給算法這顆「炮彈」包上了「糖衣」，讓算法的爲力潛藏於內，外表再也不嚇人，變得萌萌噠，Q彈可愛。

本書經過主人公小灰，用漫畫的形式講述了算法與數據結構的基礎知識、複雜多變的算法面試及算法的實際應用。

• 第一章：講述什麼是算法、數據結構，有什麼用。如何計算時間複雜度、空間複雜度。
• 第二章：講述基本的數據結構：數組、鏈表、棧、隊列、哈希。
• 第三章：講述了樹、二叉樹相關知識。
• 第四章：講述了經典的排序算法：冒泡、快速、堆、計數、桶排序。
• 第五章：講述了10多道職場上流行的算法面試題及詳細的解題思路。
• 第六章：講述了算法在職場上的實際應用。

「學習算法，咱們不須要死記硬背那些冗長複雜的背景知識、底層原理、指令語法......須要作的是領悟算法思想、理解算法對內存空間和性能的影響，以及開動腦筋去尋求解決問題的最佳方案。相比編程領域的其餘技術，算法更純粹，更接近數學，也更具備趣味性。」 -- 做者說

1. 算法和數據結構

算法

algorithm。始於計算出1+2+3+4...+10000的結果。首先把從1到10000這10000個數字兩兩分組相加，以下：

1 + 10000 = 10001
2 + 9999 = 10001
3 + 9998 = 10001
......

一共有多少組這樣結果相同的和呢？有10000/2即5000組，即結果：(1 + 10000) * 10000 / 2 = 50005000。

在數學上稱這種等差數列求和的方法爲：高斯算法。

在數學領域：算法是用於解決一類問題的公式和思想。

在計算機領域：算法本質是一序列程序指令，用於解決特定的運算和邏輯問題。衡量算法好壞的重要標準有兩個：

• 空間複雜度：佔用內存空間的大小
• 時間複雜度：運行時間的長短

應用：運算、查找、排序、尋找最優路線、面試等。

數據結構

數據結構是算法的基石。若是把算法比喻成美麗靈動的舞者，那麼數據結構就是舞者腳下廣闊而堅實的舞臺。

data structure，是數據的組織、管理和存儲格式，其使用的目的是爲了高效地訪問和修改數據。

數據結構組成方式：

• 線性結構：最簡單的數據結構。包括數組、鏈表，及衍生的棧、隊列、哈希表。
• 樹：相對複雜的數據結構，有表明性的是二叉樹。
• 圖：更爲複雜的數據結構，由於在圖中會呈現出多對多的關聯關係。

時間複雜度

是對一個算法運行時間長短的量度，用大O表示，記做T(n) = O(f(n))

直白地講，時間複雜度就是把程序的相對執行時間函數T(n)簡化爲一個數量級，這個數量級能夠是n、n²、n³等。

推導出時間複雜度，有以下幾個原則：

• 若是運行時間是常數量級，則用常數1表示
• 只保留時間函數中的最高階項
• 若是最高階項存在，則省去最高階項前面的係數

好比：

執行次數是T(n) = 3n，最高階項爲3n，省去係數3，轉化的時間複雜度爲T(n) = O(n)

執行次數是T(n) = 5logn，最高階項爲5logn，省去係數5，轉化的時間複雜度爲T(n) = O(logn)。5logn，數學中的對數。

執行次數是T(n) = 2，只有常數量級，轉化的時間複雜度爲T(n)=O(1)

執行次數是T(n) = 0.5n² + 0.5n，最高階項爲0.5n²，省去係數0.5，轉化的時間複雜度爲T(n) = O(n²)

誰更節省時間呢？結論以下：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(n²)

空間複雜度

space complexity。是對一個算法在運行過程當中臨時佔用存儲空間大小的度量，用大O表示，記做S(n) = O(f(n))

• 常量空間：O(1)，存儲空間大小固定，和輸入規模沒有直接關係
• 線性空間：O(n)，空間是一個線性的集合（好比數組），而且集合大小和輸入規模n成正比
• 二維空間：O(n²)空間是一個二維數組集合，而且集合的長度和寬度都與輸入規模n成正比
• 遞歸空間：執行遞歸操做所需的內存空間和遞歸的深度成正比。純粹的遞歸操做的空間複雜度也是線性的，若是遞歸的深度是n，那麼空間複雜度就是O(n)

2. 數據結構基礎

數組

有限個，在內存中順序存儲。

內存是由一個個連續的內存單元組成的，每個內存單元都有本身的地址。

數組中的每個元素，都存儲在小小的內存單元中，而且元素直接緊密排列，既不能打亂元素的存儲順序，也不能跳過某個存儲單元進行存儲。

操做：

• 讀取、更新：利用索引，比較容易，直接操做
• 插入：末尾插入簡單，直接在最後插入便可。非末尾插入，因爲數組的每個元素都有其固定下標，因此須要先把插入位置及後面的元素向後移動，挪出地方，再把要插入的元素放到對應的數組位置上。
• 刪除：和插入過程相反，若刪除的元素不是位於末尾，其後的元素都要向前移動。

插入、刪除的時間複雜度都是O(n)

優點：很是高效的訪問能力，只要給出下標，就能找到對應元素。
劣勢：插入、刪除效率低下。數組元素連續緊密地存儲在內存中，插入、刪除元素都會致使大量元素被迫移動，影響效率。

數組適合讀操做多、寫操做少的場景。鏈表和數組正好相反。

鏈表

一種在物理上非連續、非順序的數據結構，由若干節點(node)所組成。

單向鏈表的每個節點包含兩部分，存放數據的變量data，指向下一個節點的指針next。

鏈表的第一個節點被稱爲頭結點，最後一個節點被稱爲尾節點。尾結點的下一個節點指向空。

雙向鏈表，每個節點除了擁有 data 和 next，還擁有指向前置節點的 prev 指針。

數組在內存中的存儲方式是順序存儲，鏈表 在內存中的存儲順序是隨機存儲。

數組在內存中佔用了連續完整的存儲空間，而鏈表採用了見縫插針的方式，鏈表的沒一個節點分佈在內存的不一樣位置，依靠next指針關聯起來。這樣能夠靈活有效地利用零散的碎片空間。

鏈表操做：

• 查找節點：只能從頭結點開始向後一個一個節點逐一查找。
• 更新：查找到了，替換數據就好
• 插入、刪除：分三種狀況：尾部、頭部、中間，須要處理對應的next指針。具體看書中的圖會更直觀呢，文字描述太晦澀了。

；鏈表的插入和刪除的時間複雜度：若是不考慮插入、刪除操做以前查找元素的過程，只考慮純粹的插入、刪除操做，時間複雜度爲O(1)

數組 vs 鏈表：數組可以利用下標快速定位元素，對於讀操做多、寫操做少的場景很是使用。而鏈表的有事在於能靈活的進行插入和刪除操做，適用於讀操做少、寫操做多的場景。

棧和隊列

數據存儲的物理結構和邏輯結構：

• 物理結構：物質層面，實實在在的，看得見，摸得着。
  • 順序存儲結構：數組
  • 鏈式存儲結構：鏈表
• 邏輯結構：精神層面，抽象的概念，依賴於物理結構而存在。
  • 線性結構：順序表、棧、隊列
  • 非線性結構：樹、圖

棧：stack。一種線性數據結構，棧中的元素只能先進後出(FILO，First In Last Out)。最先進入的元素存放的位置叫做棧底，最後進入的元素存放的位置叫做棧頂。用數組、鏈表都可以實現。

棧的基本操做：

• 入棧：只能從棧頂放入元素，新元素成爲新棧頂。
• 出棧：只能從棧頂彈出元素，出棧元素的前一個元素成爲新棧頂。

入棧、出棧的時間複雜度：O(1)，由於只會影響到最後一個元素。

隊列：queue。一種線性數據結構，隊列中的元素只能先進先出(FIFO，First In First Out)。隊列的出口端叫做隊頭(front)，隊列的入口端叫做隊尾(rear)。用數組、鏈表都可以實現。

隊列的基本操做：

• 入隊：enqueue，只能在隊尾的位置放入元素，新元素成爲新隊尾。
• 出隊：dequeue，只能在隊頭的位置移出元素，出隊元素的後一個元素成爲新隊頭。

額外：循環隊列、雙端隊列、優先隊列。

散列表

散列表：也稱哈希表，hash table。是存儲 key-value 映射的集合，時間複雜度接近於O(1)。本質上也是一個數組。

哈希函數：經過某種方式，把 key 和數組下標進行轉換的函數。

散列表的讀寫操做：

• 寫操做(put)：在散列表中插入新的鍵值對。
  • 經過哈希函數，把 key 轉換成數組下標。若是數組下標的位置沒有元素，就放到該位置，若是該位置有值，這種狀況爲哈希衝突。
  • 解決哈希衝突：開放尋址法和鏈表法。
• 讀操做(get)：經過給定的key，在散列表中查找對應的value。
  • 經過哈希函數，把 key 轉換成數組下標，而後根據下標找value.

3.樹

樹

tree，是n個節點的有限集。有以下特色：

• 有且僅有一個特定的稱爲根的節點。
• 當n>1時，其他節點可分爲m(m>0)個互不相交的有限集，每個集合自己又是一個樹，並稱爲根的子樹。

樹的最大層級樹，被稱爲樹的高度或深度。

相關節點

• 根節點(root)
• 葉子節點(leaf):沒有孩子的節點
• 父節點
• 孩子節點
• 兄弟節點

二叉樹

樹的一種特殊形式。樹的每一個節點最多有2個孩子節點。

二叉樹的兩個孩子節點，一個被稱爲左孩子，一個被稱爲右節點。

二叉樹有兩種特殊形式：滿二叉樹、徹底二叉樹。

滿二叉樹：一個二叉樹的全部非葉子節點都存在左右孩子，而且全部葉子節點都在同一層接上。簡言之，滿二叉樹的每個分支都是滿的。

徹底二叉樹：對一個有n個節點的二叉樹，按層級順序編號，則全部節點的編號爲從1到n。若是這個樹全部節點和一樣深度的滿二叉樹的編號爲從1到n的節點位置相同，則這個二叉樹爲滿二叉樹。

一棵樹，若爲滿二叉樹，那麼必定是徹底二叉樹。反之，不必定。

在內存中存儲：

• 鏈式存儲結構：一個節點含數據data，指向左孩子的節點，指向右孩子的節點。
• 數組：按照層級順序把二叉樹的節點放到數組中對應的位置上。若是某一個節點的孩子爲空，則數組的相應位置也空出來。
  • 爲何這麼設計？能夠更方便的定位孩子節點、父節點。
  • 若父節點的下標是parent，那麼左孩子節點下標是2parent+1，右孩子節點下標是2parent+2。
  • 反之，若左孩子節點下標是leftChild,那麼父節點下標是(leftChild - 1)/2。
  • 稀疏二叉樹，用數組表示會很浪費空間。

二叉樹的應用：查找操做、維持相對順序。

• 查找：二叉查找樹。左子樹上全部節點都小於根節點，右子樹上全部節點都大於根節點。左右子樹也都是二叉查找樹。
• 維持相對順序：二叉排序樹

二叉樹的遍歷：
從節點之間位置關係的角度：

• 前序遍歷：輸出順序：根節點、左子樹、右子樹
• 中序遍歷：輸出順序：左子樹、根節點、右子樹
• 後序遍歷：輸出順序：左子樹、右子樹、根節點
• 層序遍歷：按照從根節點到葉子節點的層級關係，一層一層橫向遍歷各個節點。

從更宏觀的角度:

• 深度優先遍歷(前、中、後序遍歷，前中後是相對根節點)
• 廣度優先遍歷(層序遍歷)

二叉堆：本質上是一種徹底二叉樹。

• 最大堆：任何一個父節點的值，都大於或等於它左、右孩子節點的值。
• 最小堆：任何一個父節點的值，都小於或等於它左、右孩子節點的值。

二叉堆的根節點，叫做堆頂。最大堆的堆頂是整個堆中最大元素，最小堆的堆頂是整個堆中最小元素。

優先隊列：基於二叉堆實現：

• 最大優先隊列：不管入隊順序如何，當前最大元素都會優先出隊，基於最大堆實現
• 最小優先隊列：不管出隊順序如何，當前最小元素都會優先出隊，基於最小堆實現

觀後感：回想起了不少大學學習時的場景與概念（專業：軟件工程）